2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，属于二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，是二元一次方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  二元一次方程(    )

A. 有且只有一个解 B. 有两个解并且只有两个解
C. 无解 D. 有无数个解

6.  若方程组的解和相等，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  的计算结果是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列分解因式：；；，其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  甲仓库乙仓库共存粮吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多吨．若设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，则有(    )

A.  B.
C.  D.

10.  形如的式子叫做二阶行列式，它的算法是：，则的运算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  已知方程，用含的代数式表示为：______．

12.  一个两位数的十位数字与个位数字的和是，十位数字与个位数字互换后，所得的新两位数比原来的两位数小，则原来的两位数是______ ．

13.  如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为，则另一边长为______．

 

14.  若是一个完全平方式，则 ______ ．

15.  因式分解： ______ ．

16.  一个长方形的面积是，若它的一边长为，则它的周长是______ ．

17.  若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为        ．

18.  若的乘积中不含的一次项，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
因式分解：
；
．

20.  本小题分
解方程组：
；
．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
已知：．
用的代数式表示；
如果、为自然数，那么、的值分别为多少？
如果、为整数，求的值．

23.  本小题分
先因式分解，再计算求值：，其中，．

24.  本小题分
已知，．
求的值；
求的值．

25.  本小题分
某高校共有个大餐厅和个小餐厅．经过测试：同时开放个大餐厅、个小餐厅，可供名学生就餐；同时开放个大餐厅、个小餐厅，可供名学生就餐．
求个大餐厅、个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
若个餐厅同时开放，能否供全校的名学生就餐？请说明理由．

26.  本小题分
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列问题：
该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A、提取公因式                 平方差公式
C、两数和的完全平方公式两数差的完全平方公式
该同学因式分解的结果是否彻底______填“彻底”或“不彻底”
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：属于二元一次方程，
故选：．
利用二元一次方程的定义判断即可．
此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入二元一次方程，得
，
即．
故选：．
知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本解法有加减消元法和代入消元法．利用两个方程相加求解即可．
【解答】
解：，
，得，
，
，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：二元一次方程有无数组的值使等式成立，任意给一个值，就有唯一的一个值与它对应，所以有无数个解．
故选：．
根据二元一次方程的解有无数个，可直接作答．
本题考查了二元一次方程的解，一般来说二元一次方程有无数个解．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
把代入得，，
把代入得，，解得．
故选：．
理解清楚题意，构造三元一次方程组，解出的数值即可．
本题考查二元一次方程组，解题关键是理解题意，构造三元方程组解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故选D
原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键．分别利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案．
【解答】
解：故错误；
，故正确；
，故错误．
正确的只有个．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨．
根据题意得：．
故选：．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．
根据等量关系：从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食吨；甲仓库和乙仓库共存粮吨，据此列出方程组即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：


，
故选：．
先得出算式，再根据整式的乘法法则算乘法，最后合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程，
，
解得：，
故答案为：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
 

12.【答案】 

【解析】解：设原来两位数的个位数字是，十位数字是，
根据题意得：，
解得：
则原来的两位数是．
故答案为：．
设原来两位数的个位数字是，十位数字是，由题意：两位数的十位数字与个位数字的和是，十位数字与个位数字互换后，所得的新两位数比原来的两位数小，列出方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设拼成的矩形的另一边长为，
则
，
解得．
故答案为：．
根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
或，
解得：或．
故答案为：或．
根据平方项可知是和的完全平方式，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．
本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
周长，
，
，
．
所以它的周长是：．
故答案为：．
利用长方形的面积先求另一边的长，再根据周长公式求解．
此题考查整式的除法运算和加减运算，要注意平方差公式的运用．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，得，
将代入得，，
方程组的解为，
二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
，
故答案为：．
用加减消元法求解二元一次方程组得解为，再将方程组的解代入，即可求的值．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次方程与二元一次方程的解关系是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：

，
乘积中不含的一次项，
，
解得：，
故答案为：．
首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含的一次项，使含的一次项的系数之和等于即可．
此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
 

19.【答案】解：；


． 

【解析】利用提公因式法分解因式即可；
先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，分解因式时先提公因式，再利用公式法分解．熟练掌握分解因式的方法及相关公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
得，，
解得：，
把代入得，，
解得：，
方程组的解为：；
，
得，，
解得：，
把代入得，，
解得：，
方程组的解为：． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法是解方程的关键．
 

21.【答案】解：

，
，
，
当时，原式． 

【解析】先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

22.【答案】解：，
消去得：；
当时，；时，；时，；时，；
方程组整理得：，
则原式． 

【解析】方程组消去得到与关系式即可；
根据与为自然数，确定出与的值即可；
方程组整理表示出的值，原式利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则变形，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是消去．
 

23.【答案】解：，
，，
原式． 

【解析】先利用提公因式法分解因式，再整体代值求解即可．
本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
 

24.【答案】解：，，





；




． 

【解析】利用同底数幂的乘法的逆运算，以及幂的乘方的逆运算对式子进行转化，再代入相应的值运算即可；
利用幂的乘方的逆运算对式子进行转化，再代入相应的值运算即可；
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的逆运算以及幂的乘方的逆运算的掌握．
 

25.【答案】解：设个大餐厅可供名学生就餐，个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得
解这个方程组，得
答：个大餐厅可供名学生就餐，个小餐厅可供名学生就餐．

因为，
所以如果同时开放个餐厅，能够供全校的名学生就餐． 

【解析】根据题意可知本题的等量关系有，个大餐厅容纳的学生人数个小餐厅容纳的学生人数，个大餐厅容纳的学生人数个小餐厅容纳的学生人数根据这两个等量关系，可列出方程组．
根据题得到个大餐厅和个小餐厅分别可容纳学生的人数，可以求出个大餐厅和个小餐厅一共可容纳学生的人数，再和比较．
本题考查二元一次方程的应用，属于比较基本的应用问题．注意根据题目给出的已知条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
 

26.【答案】解：；
不彻底；；
设．





． 

【解析】

【分析】
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照题干提供的方法和样式解答即可，难度中等．
完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
还可以分解，所以是不彻底．
按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】
解：运用了，两数和的完全平方公式；
故答案为：；
还可以分解，分解不彻底；
故答案为：不彻底；；
见答案．