广东省河源市和平县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

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1．（3分）实数，，，2π，，|﹣3|，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（3分）点M（﹣4，5）到y轴的距离是（ ）
A．4B．5C．1D．﹣4
3．（3分）在直角坐标平面内，点P的坐标是（﹣a2，1），其中a为实数，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第一象限或第二象限D．以上均不对
4．（3分）墨迹覆盖了等式“2◆＝”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
5．（3分）如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（ ）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米
6．（3分）已知＝5.225，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝0.5225B．＝52.25
C．＝0.5225D．＝522.5
7．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边长，它们满足（a﹣10）2++|c﹣26|＝0，则这个三角形的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．不能确定
8．（3分）在平面直角坐标系中，点Q（﹣3，7）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，7）B．（3，7）C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）
9．（3分）已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+b图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
10．（3分）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）
A．B．3mC．4mD．5m
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）电影院的8排10号用（8，10）表示，那么5排8号可用 表示．
12．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）一次函数y＝﹣6x+5，当x＝2时，则y＝ ．
14．（3分）已知在平面直角坐标系中，y轴上有两点A（0，2）、B（0，6），x轴上有一动点E，当∠AEB最大时，点E的坐标为 ．
15．（3分）小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC 沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）分别求出AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
（3）△ABC的面积是 ．
18．（8分）某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度，按每度0.48元计算，每月用电超过100度，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计费．
（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）小王家一月份用电130度，应交电费多少元？
（3）小王家二月份交电费70元，求小王家二月份用了多少度电？
19．（9分）如图所示的直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C（5，5）．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如果三角形ABC的纵坐标不变，横坐标增加3个单位长度，得到三角形
A1B1C1，试在图中画出三角形A1B1C1，并求出A1，B1，C1的坐标．
（3）三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状有什么关系？
20．（9分）一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，与一次函数y＝x的图象交于第一象限内的点C．
（1）分别求出A、B、C的坐标；
（2）求出△AOC的面积．
22．（12分）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝
∴a＝2﹣
∴a﹣2＝﹣
∴（a﹣2）2＝3
∴a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你认真审视小明的解答过程，根据他的做法解决下列问题：
（1）计算＝ ；
（2）计算；（写出计算过程）
（3）如果a＝，求2a2﹣8a+1的值．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与y轴相交于点C（0，6），与直线OA相交于点A且点A纵坐标为2，动点P沿路线O→A→C运动．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求△OAC的面积；
（3）当△OPC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：实数，，，2π，，|﹣3|，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1）中，
是无理数的有：，，2π，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1），
∴无理数的个数是4个，
故选：C．
2． 解：∵点P的坐标为（﹣4，5），
∴点P到y轴的距离为4个单位长度．
故选：A．
3． 解：∵﹣a2≤0，
∴点P（﹣a2，1），在y轴或第二象限．
故选：D．
4． 解：A，2，不能合并，不符合题意；
B，2﹣，不能合并，不符合题意；
C，2×＝2，不符合题意；
D，∵，
∴，符合题意；
故选：D．
5． 解：∵在Rt△ABC中，
AB＝5米，BC＝3米，
∴AC＝＝＝4（米），
在Rt△CDE中，
∵DE＝AB＝5米，CE＝BC+BE＝3+1＝4（米），
∴DC＝＝＝3（米），
∴AD＝AC﹣DC＝4﹣3＝1（米）．
答：梯子顶端A下落了1米，
故选：A．
6． 解：∵＝5.225，∴A、B一定错误；
D应等于52.25，
C正确，
故选：C．
7． 解：∵（a﹣10）2++|c﹣26|＝0，
∴a﹣10＝0，b﹣24＝0，c﹣26＝0，
∴a＝10，b＝24，c＝26，
∵a2+b2＝102+242＝676，c2＝262＝676，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：C．
8． 解：点Q（﹣3，7）关于y轴对称的点的坐标是（3，7）．
故选：B．
9． 解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣1＜2，且P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+b图象上的两个点，
∴y1＞y2．
故选：A．
10． 解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长1米，
x2＝（1×4）2+32＝16+9＝25，
所以，彩带长至少是5m．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：∵8排10号用（8，10）表示，
∴5排8号可用（5，8）表示．
故答案为：（5，8）．
12． 解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
13． 解：把x＝2代入y＝﹣6x+5，
∴y＝﹣6×2+5＝﹣7
故答案为：﹣7．
14． 解：如图所示，过A、B两点作一圆与x轴相切于E，在x轴上任取一点F，此时∠AEB＞∠AFB，
∠AEB最大，此时的E点即为所求点，
由弦切角定理可知，∠AEO＝∠ABE，
∴△AOE∽△EOB，
∴OE2＝OA•OB＝2×6＝12，
∴OE＝，
∴E点坐标为（，0）或（，0），
故答案为（，0）和（，0）．
15． 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
由折叠可知∠ACD＝∠A′CD＝∠ACB＝45°，
∴DE＝CE，
设DE＝x，则BE＝6﹣x，
∵DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
即DE＝，
∴S阴影部分＝A′C•DE
＝×4×
＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）原式＝﹣5
＝﹣5
＝6﹣5
＝1；
（2）原式＝2+1+1
＝2+2
＝4+2
＝6．
17． 解：（1）由图象可得，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝5．
故答案为：，2，5．
（2）∵+＝52，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
（3）S△ABC＝AB•BC＝××（2）＝5．
故答案为：5．
18． 解：（1）当x≤100时，y＝0.48x；
当x＞100时，y＝100×0.48+0.50×（x﹣100）＝0.5x﹣2；
∴y＝；
（2）∵x＝130，
∴y＝0.5×130﹣2＝63（元）．
∴小王家一月份用了130度电，应交电费63元；
（3）∵70＞48，
∴y＝70时，0.5x﹣2＝70，
∴x＝144，
∴小王家三月份用电144度．
19． 解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，5），
∴AB＝6，点C到AB的距离为5，
∴S△ABC＝×6×5＝15；
（2）△A1B1C1如图所示，A1（3，0），B1（9，0），C1（8，5）；
（3）△A1B1C1与△ABC的大小、形状相同．
20． 解：（1）由题意，得AB2＝AC2+BC2，得
AC＝＝＝24（米）．
（2）由A′B′2＝A′C2+CB′2，得
B′C＝＝＝＝15（米）．
∴BB′＝B′C﹣BC＝15﹣7＝8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
21． 解：（1）根据题意，令x＝0，解得y＝6，
∴B点的坐标为（0，6）；
令y＝0，解得x＝12，
∴A点的坐标为（12，0）；
∵一次函数的图象与一次函数y＝x交于C，
解得：y＝x＝4，
∴C点的坐标为（4，4）．
（2）由（1）知，OA＝12，
由图象知S△AOC＝×AO×yC＝×12×4＝24．
22． 解：（1）由题意得＝；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝；
（3）∵a＝+2，
∴a﹣2＝．
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．
答：2a2﹣8a+1的值为3．
23． （1）设直线BC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：
解得
则直线BC的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）在y＝﹣x+6中，令y＝2，解得：x＝4，
即A点的坐标是（4，2），
则；
（3）设OA的解析式是y＝ax，则4a＝2，
解得：，
则直线的解析式是：，
①当P在OA上时，
∵当△OPC的面积是△OAC的面积的时，
∴P的横坐标是，
在中，当x＝1时，，则P的坐标是；
②当P在AC上时，
∵△OPC的面积是△OAC的面积的，
∴CP：AP＝1：5，
∵A（4，2）
∴在y＝﹣x+6中，当x＝1时，y＝5，则P的坐标是（1，5），
∴P的坐标是：．