山东省平邑县第一中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性质质量检测数学试题

这是一份山东省平邑县第一中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性质质量检测数学试题，共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，直线，的斜率是方程的两个根，则，已知直线，则在轴上的截距为，圆与圆相交于，两点，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列关于空间向量的说法中错误的是
A．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量
B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定
C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示
2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于
A．5B．2C．D．
3．直线，的斜率是方程的两个根，则
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
4．已知直线，则在轴上的截距为
A．B．C．1D．
5．已知点，1，在坐标平面内的射影为点，则
A．B．C．D．
6．若曲线表示圆，则实数的取值范围为
A．B．， 0，
C．，D．，，
7．若圆上只有三个点到直线的距离为1，求的取值
A．B．C．D．
8．正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为
A．B．C．D．
10．圆与圆相交于，两点，则
A．的直线方程为
B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线长为
D．线段的中垂线方程为
11．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
12．在长方体中，，，则异面直线与所成角的大小可能为
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线与直线平行，则 ．
14．圆与圆的交点为，，则弦的长为 ．
15．如图，两个正方形，的边长都是6，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ．
16．若三棱锥中，，，，点为中点，点在棱上（包括端点），则异面直线与所成的角的余弦值的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，，，．
（1）求边的高线的方程；
（2）过点的直线与直线的交点为，若、到的距离之比为，求的坐标．
18．已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点．
（1）求点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
（3）当取得最小值时，求的面积．
19．如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．
20．如图，在三棱锥中，是的中点，与均为正三角形．
（1）证明：．
（2）若，点满足，求二面角的正弦值．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求正整数的值；
（2）在（1）的条件下，方程表示的圆为圆，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点，分别是，上的动点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列关于空间向量的说法中错误的是
A．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量
B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定
C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示
【答案】
【解答】解：若，则，零向量不能作为直线的方向向量，故错误；
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，故正确；
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，故正确；
在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示，故正确；
故选：．
2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于
A．5B．2C．D．
【答案】
【解答】解：根据题意，因为，且直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，所以，则有，解得．
故选：．
3．直线，的斜率是方程的两个根，则
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
【答案】
【解答】解：设直线，的斜率分别是，，
依题意，，所以．
故选：．
4．已知直线，则在轴上的截距为
A．B．C．1D．
【答案】
【解答】解：直线可化为，
则在轴上的截距为．
故选：．
5．已知点，1，在坐标平面内的射影为点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：点是点，1，在坐标平面内的射影，
，0，，，
则，
故选：．
6．若曲线表示圆，则实数的取值范围为
A．B．， 0，
C．，D．，，
【答案】
【解答】解：由，
解得或．
故选：．
7．若圆上只有三个点到直线的距离为1，求的取值
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：由圆，得，
可得圆心坐标为，半径为．
圆上只有三个点到直线的距离为1，
圆心到直线的距离为1，
可得，即．
故选：．
8．正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，
设，，，，，，，
，
为定值，要想三棱锥的体积最大，则到底面的距离最大，
其中，
当时，取得最大值为，
，，的最大值为，，1，，，1，，
平面的法向量，1，，
当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为：
．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为0，即过原点时，直线的方程为，即；
当直线在坐标轴上的截距相等，及直线的斜率为1时，直线的方程为，即；
当直线在坐标轴上的截距相反时，即直线的斜率为时，直线的方程为，即．
故选：．
10．圆与圆相交于，两点，则
A．的直线方程为
B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线长为
D．线段的中垂线方程为
【答案】
【解答】解：圆与圆相减可得直线的方程为，故正确；
圆的圆心，半径为1，则弦长，故错误；
由两圆相交可得的中垂线方程为，即，故正确；
由，两圆的半径分别为1和2，则公切线的长度为，故正确．
故选：．
11．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
【答案】
【解答】解：因为，
，
所以，所以，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
故选项，，正确，
又与不平行，所以与不平行，
故选项错误．
故选：．
12．在长方体中，，，则异面直线与所成角的大小可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】
解：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，1，，
，，
设异面直线与 所成角为，
则，
，，．
故选：．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线与直线平行，则 ．
【答案】2
【解答】解：由，得到，
因为，所以，由，得到
所以，即，解得．
故答案为：．
14．圆与圆的交点为，，则弦的长为 ．
【答案】．
【解答】解：圆与圆，
联立两个圆的方程可得：，
故公共弦所在直线方程为，
圆，即，
圆心为，，
圆心到直线的距离为：，
故公共弦的长为，
故答案为：．
15．如图，两个正方形，的边长都是6，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ．
【答案】．
【解答】解：因为四边形和四边形都是正方形，所以，，
所以即为二面角的平面角，即．
因为是对角线的中点，所以，
又因为是对角线靠近点的三等分点，
所以．
所以，
所以，
所以
．
所以，即线段．
故答案为：．
16．若三棱锥中，，，，点为中点，点在棱上（包括端点），则异面直线与所成的角的余弦值的取值范围是 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，由余弦定理可得：，
设，，，，，
则，，
因为，，，
所以，
，
设异面直线，所成的角为，
则，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，，，．
（1）求边的高线的方程；
（2）过点的直线与直线的交点为，若、到的距离之比为，求的坐标．
【解答】解：（1）已知，，
所以直线的斜率，
则边的高线所在的直线斜率为，
所以边的高线所在的直线方程为，
即；
（2）由（1）知直线的方程为，
即，
若直线的斜率不存在，
此时直线的方程为，
则点、到的距离分别为4，2，不符合题意；
若直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，
即，
因为、到的距离之比为，
所以，
解得或，
当是，直线的方程，
联立，
解得，，
即；
当时，直线的方程为，
联立，
解得，，
即，
综上，点的坐标为或．
18．已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点．
（1）求点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
（3）当取得最小值时，求的面积．
【解答】解：（1）直线，整理可得：，
可得直线恒过；
（2）要使点到直线的距离最大，则，可得，
即到直线的距离，
两边平方可得：，整理得，
所以，
所以，即．
（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得，，，且、，
因为，所以，，
所以，仅当时等号成立，
所以时取最小值，
当，则，，此时的面积为；
当，则，，此时的面积为；
所以的面积为或．
19．如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．
【解答】解：令，，方向上的单位向量分别为，，，则是空间向量的一组单位正交基底，
因为
，
所以，
即的长度为．
20．如图，在三棱锥中，是的中点，与均为正三角形．
（1）证明：．
（2）若，点满足，求二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接，因为与均为正三角形，所以，
又为的中点，所以，，
因为，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：因为，所以为等腰直角三角形，且，
不妨设，则，
由，得，
则，故，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
所以，
故二面角的正弦值为．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求正整数的值；
（2）在（1）的条件下，方程表示的圆为圆，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
【解答】解：（1）若此方程表示圆，则，解得，
因为为正整数，；
（2）在（1）的条件下，方程表示圆：，
由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线即为直线，且，直线方程为，即．
22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点，分别是，上的动点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为底面，平面，故，
又，且，，平面，
故平面，又，
所以平面；
（2）由底面，得与底面所成角即为，
又，，则，，，
以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建系如图，
则，0，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，，取，
又平面，而，
平面的一个法向量，
，
由图可知平面与平面夹角为锐二面角，
则平面与平面夹角的余弦值为．