2023-2024学年辽宁省沈阳第七中学九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）

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2023-2024学年辽宁省沈阳七中九年级（上）第一次月考数学试卷
一.选择题：（每小题2分，共20分）
1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4
2．（2分）已知线段a、b、c满足，其中a＝4cm，b＝12cm（　　）
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
3．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
4．（2分）将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2分）若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
6．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，F分别为边AB，BC的中点，DE，点N，DE的中点，连接MN（　　）

A． B．2 C． D．2
7．（2分）若点A（﹣2，1）在反比例函数y＝的图象上（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
8．（2分）菱形ABCD的边长为20，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．200 B．400 C．100 D．200
9．（2分）如图，若直线l1∥l2∥l3，且DE：EF＝2：3，AC＝15，则BC＝（　　）

A．5 B．6 C．9 D．10
10．（2分）如图，点A为反比例函数上的一动点，△AOB的面积为k，则函数y＝kx+1的图象为（　　）

A． B．
C． D．
二.填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是：　 　．
12．（3分）若＝＝且a﹣b+c＝2，则a+b﹣c的值为 　 　．
13．（3分）已知反比例函数y＝﹣（k是常数且k≠0）的图象在第二、四象限，那么k的取值范围是 　 　．
14．（3分）某物流公司今年7月的营业额为250万元，按计划第三季度的总营业额要达到910万元，求该物流公司8月、9月两个月营业额的月平均增长率 　 　．
15．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（2x﹣1）※（x+2）＝7，则x的值为 　 　．
16．（3分）菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　 　．

17．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，CD＝2，则△ABE的面积为 　 　．

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，若AB＝1.5，BC＝2　 　．

三、解答题：
19．（20分）解方程：
（1）2x2+4x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）；
（3）（2x+3）2＝9（x﹣5）2；
（4）（x+2）•（x﹣1）＝70．
20．（8分）列一元二次方程解应用题．
如图，在一个长为60米，宽为40米的矩形场地内修筑两条入口宽度相等均为x米的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形场地的一边平行，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204平方米．求：小路入口的宽度是多少米？

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是菱形．

22．（8分）如图，AD和BE都是△ABC的高，相交于F点
（1）求证：△CAB∽△CDE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6cm，BE＝8cm　 　．

23．（10分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件．
（1）若每件服装降3元，则每天能卖出 　 　件，每件服装的利润是 　 　元．
（2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？
24．（10分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．

25．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B在线段AO上，且AB=2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．
​
（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴
①点B的坐标 　 　；
②求证：△BOP∽△PCE；
（2）在（1）的条件下，如图2（8，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，则点P的坐标 　 　；
（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，垂足为点C，若以点E，P，请直接写出点E的坐标 　 　．






2023-2024学年辽宁省沈阳七中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（每小题2分，共20分）
1．【答案】B
【解答】解：A．x3+2x＝8，未知数最高次数是3，不符合题意；
B．x（x﹣3）＝6是一元二次方程；
C．是分式方程，不符合题意；
D．y﹣x2＝4含有两个未知数，不是一元二次方程．
故选：B．
2．【答案】D
【解答】解：∵a：b＝b：c，a＝4cm，
∴b2＝ac＝5c＝144，
解得c＝36，
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，B（﹣6，
点B'的对应点A'的坐标为（﹣6×2，﹣4×4）或（﹣6×（﹣2），即点B'的坐标为（﹣12，4），
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：3x2﹣2x+2＝0，
x7﹣3x+＝0，
x2﹣6x＝﹣，
x5﹣3x+（）2＝﹣+（）3，
（x﹣）7＝，
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：∵mx2+2mx+6＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝6m2﹣16m＝0，
解得m＝4或m＝4，
∴m＝4．
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝CD，
∴CG＝CD＝8，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝7，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．

7．【答案】D
【解答】解：把A（﹣2，1）代入反比例函数y＝，
解得：k＝﹣2，
故选：D．
8．【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，OB＝，
∵菱形ABCD的边长为20，
∴AB＝AC＝20，
∴BO＝10，
∴BD＝20，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝200．
故选：D．

9．【答案】C
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l5，且DE：EF＝2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴BC＝AC＝，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：设A点坐标为（x，y），
∵A点在第二象限且在函数y＝﹣的图象上，
∴xy＝﹣2，
∴S△ABO＝|xy|＝，即k＝1．
∴一次函数y＝kx+1的解析式为：y＝x+4，
∴一次函数的图象经过点（0，1），7）的直线．
故选：B．
二.填空题（每题3分，共24分）
11．【答案】m≤7且m≠3．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+1＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣7（m﹣3）×1≥2且m﹣3≠0，
解得：m≤5且m≠3．
故答案为：m≤7且m≠2．
12．【答案】．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，（k≠8），
∵a﹣b+c＝2，
∴2k﹣2k+4k＝2，
解得：k＝，
∴a＝，b＝2，
∴a+b﹣c＝+6﹣＝．
故答案为：．
13．【答案】k＞0．
【解答】解：∵反比例函数（k是常数、四象限，
∴﹣k＜0，
解得：k＞0，
故答案为：k＞2．
14．【答案】20%．
【解答】解：设月营业额的月平均增长率为x，则，
250+250（1+x）+250（1+x）5＝910，
解得：，（不符合实际，
答：月营业额的月平均增长率为20%．
故答案为：20%．
15．【答案】4或﹣．
【解答】解：由题意可得：
（2x﹣1）3﹣（2x﹣1）（x+8）＝7，
整理，得：2x6﹣7x﹣4＝3，
（x﹣4）（2x+6）＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣，
即x的值为4或﹣，
故答案为：4或﹣．
16．【答案】．
【解答】解：如图，在BC的下方作∠CBT＝30°，连接ET，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠ADF＝，AB＝AD＝5，
在△BET和△DFA中，
，
∴△BET≌△DFA（SAS），
∴ET＝AF，
∴AE+AF＝AE+TE，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，
∵AB＝AD＝4，BT＝AD，
∴AB＝BT＝4，
∴AT＝＝，
∵AE+TE≥AT，
即AE+TE≥，
∴AE+AF的最小值为．
故答案为：．

17．【答案】．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，

∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB＝7，
∵∠ADC＝90°，CD＝2，
∴AD＝，
∵，
∴DF＝，
∴AF＝，
∴CF＝，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
∴EF＝，
∴AE＝，
∴．
故答案为：．
18．【答案】．
【解答】解：∵D为BC边的中点，BC＝2，
∴BD＝1．
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，
∴．
∵BE⊥AD于点E，
∴，
∴BF＝，
∵AB＝1.6，，
∴，
过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，设 ，
∵DG∥BF，
∴△CGD∽△CBE，
∴，
∴，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△AGD，
∴，即 ＝，
解得 ，
∴．
故答案为：．

三、解答题：
19．【答案】（1），；
（2）x1＝5，x2＝3；
（3）x1＝18，；
（4）x1＝﹣9，x2＝8．
【解答】解：（1）2x2+2x﹣3＝0，
a＝4，b＝4，
Δ＝b2﹣2ac＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞5，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，；
（2）（x﹣3）2＝8（x﹣3），
解：（x﹣3）8﹣2（x﹣3）＝2，
（x﹣3﹣2）（x﹣7）＝0，
解得：x1＝5，x2＝3；
（3）（5x+3）2＝5（x﹣5）2，
解：（6x+3）2﹣3（x﹣5）2＝6，
（2x+3﹣2x+15）（2x+3+5x﹣15）＝0，
即（﹣x+18）（5x﹣12）＝5，
解得：x1＝18，；
（4）（x+2）⋅（x﹣1）＝70，
解：x6+2x﹣x﹣2﹣70＝4，
x2+x﹣72＝0，
（x+7）（x﹣8）＝0，
解得：x6＝﹣9，x2＝4．
20．【答案】小路入口的宽度是2米．
【解答】解：设小路入口的宽度是x米，则（60﹣x）（40﹣x）＝2204，
解得：x1＝2，x7＝98（不符合实际，舍去）．
答：小路入口的宽度是2米．
21．【答案】证明见解析．
【解答】证明：在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
又∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
22．【答案】（1）见解析；
（2）cm．
【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴，即，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAB～△CDE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6cm，BE＝8cm，
∴（cm），
∴（cm），
∵△ACD∽△BCE，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴cm．
故答案为：cm．
23．【答案】（1）45，17；
（2）每件服装应降价10元，每天能盈利800元．
【解答】解：（1）∵每件降价1元，则每天可多售5件，
∴每件服装降6元，则每天可多售3×5＝15件，
每件服装的利润是为：（65﹣6）﹣45＝17元，
故答案为：45，17；
（2）设每件服装应降价x元，每天能盈利800元，
则：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800，
解得：x1＝3，x2＝10，
∵要尽快减少库存，
∴x＝10，
故：每件服装应降价10元，每天能盈利800元．
24．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+4，反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）4；
（3）x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【解答】解：（1）将A（﹣3，1），2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，5）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（3，4），
由，解得或，
∴点B的坐标为（﹣1，7），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝3；
（3）观察图象，当x＜0时的解集是x＜﹣3或﹣7＜x＜0．
25．【答案】（1）①（0，2）；
②见解析过程；
（2）（，0）或（2，0）；
（3）（，2）或 （，）或 （0，﹣）或 （﹣，﹣2）．
【解答】（1）解：①∵点A（0，6），
∴OA＝7，
∵AB＝2BO，
∴BO＝2，
∴点B的坐标为（2，2），
故答案为：（0，3）；
②证明：∵PQ⊥PB，EC⊥OC，
∴∠ECP＝∠BPE＝∠POB＝90°，
∴∠OPB+∠EPC＝90°，∠EPC+∠CEP＝90°，
∴∠OPB＝∠PEC，
∴△BOP∽△PCE；
（2）解：如图，过点C'作C'G⊥OC于G，

∵点C坐标为（8，0），
∴OC＝2，
设OP＝x，则PC＝8﹣x，
∵AF∥OP，
∴△FBA∽△PBO，
∴＝2，
∴AF＝7x，
∵∠EPC+∠OPB＝90°，∠EPC'+∠C'PF＝90°，
∴∠C'PF＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠F，
∴∠F＝∠C'PF，
∴C'F＝C'P＝PC＝8﹣x，
∴AC'＝8﹣5x，
∴C'D＝3x，
∴PG＝PC﹣CG＝8﹣7x，
在Rt△PC'G中，
∵C'P2＝PG2+C'G7，
∴（8﹣x）2＝（5﹣4x）2+32，
∴x1＝或x2＝7，
∴P（，6）或（2，
故答案为：（，0）或（2；
（3）解：如图，

∵OB＝7，∠POB＝90°，
∴∠PBO＝30°，
∴OP＝OB•tan30°＝，PB＝2OP＝，
∵∠BPQ＝90°，
∴∠QPC＝30°，
∵∠PBQ＝∠ECP＝90°，
∴当∠PE1B＝30°时，以点E，P，
∴PE6＝BP＝4，
∴E2C＝PE8＝2，PC＝E4C＝2，
∴OC＝，
∴E4（，2）；
当∠PBE2＝30°时，以点E，P，
同法可得E6（，）；
当∠PE6B＝30°时，以点E，P，
同法可得E3（0，﹣）；
当∠PBE4＝30°时，以点E，P，
同法可得E4（﹣，﹣2），
综上所述，满足条件的点E坐标为：（，2）或 （，）或 （0，﹣）或 （﹣，﹣2）．