备战高考2024年数学第一轮专题复习9.4 抛物线（精讲）（提升版）（原卷版）

9.4 抛物线（精讲）（提升版）

考点一 抛物线定义及应用

【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（       ）

A．4 B．3 C． D．

【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（       ）

A． 3        B． 2        C． 1        D．

【一隅三反】

1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．

3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（       ）

A． B． C．6 D．

考点二 直线与抛物线的位置关系

【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.

【一隅三反】

1．（2022·云南）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（       ）

A． B． C． D．

2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．

3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（    ）

A． B．3 C．27 D．

考点三 弦长

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ）

A． B．8 C．12 D．

【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（       ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【一隅三反】

1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．

2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3（2021·福建高三月考）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．

考点四 综合运用

【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为

，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（       ）

A． B．抛物线的方程为

C．直线的方程为 D．

【一隅三反】

1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ）

A． B．是等边三角形

C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为

2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（       ）

A．若直线的倾斜角为，则

B．若，则直线的斜率为

C．若为坐标原点，则三点共线

D．

3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学 ）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若为抛物线上的动点，，则

D．若为抛物线上的点，则