第5练 三角恒等变换的应用《2024新高考数学一轮复习同步精练之三角函数与解三角形》（解析版）

第5练  三角恒等变换的应用

一、单选题

1．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2023秋·高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2023·江苏·高一专题练习）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形

6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知，则（    ）

A．－3 B． C．3 D．

8．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设函数，则（    ）

A．的一个周期为 B．在上单调递增

C．在上有最大值 D．图象的一条对称轴为直线

10．（2023春·广东广州·高二执信中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的最小正周期为

C．函数的图象的对称轴方程为

D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考期末）已知函数，则（    ）

A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象

B．的图象与的图象关于y轴对称

C．的单调递减区间为

D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是

12．（2023春·山东泰安·高一校考阶段练习）若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．在上单调递增

C．在内有5个零点 D．在上的值域为

13．（2023春·新疆哈密·高二校考期末）已知函数.若图象中离轴最近的对称轴为，则（    ）

A．

B．的最小正周期为

C．图象的一个对称中心是

D．的单调递增区间为

14．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下面对函数的叙述中正确的是（    ）

A．函效的最小正周期为 B．函数图象关于点对称

C．函数在区间内单调递增 D．函数图象关于直线对称

三、填空题

15．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则       ．

16．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）若，，则      .

17．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）若，则          .

18．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）若，则          .

四、解答题

19．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

20．（2023·全国·高三专题练习）已知为锐角三角形，且．

(1)若，求；

(2)已知点在边上，且，求的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式即得.

【详解】．

故选：A．

2．D

【分析】根据二倍角公式与整体法诱导公式进行求解.

【详解】

故选：D

3．B

【分析】先将已知等式整理化简成一个三角函数形式，再利用诱导公式转化为余弦二倍角公式求解.

【详解】∵，

∴.

故选：B．

4．A

【分析】先利用三角恒等变换化简，得到，再根据平移和伸缩变换得到的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.

【详解】，

则，

令，

解得：，

故选：A

5．A

【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.

【详解】由题知，，

所以，

所以，得，

所以，得，

所以的形状为直角三角形，

故选：A

6．A

【分析】利用公式变形化弦为切求出，代入求值.

【详解】因为，

所以，

，

故.

故选：A

7．B

【分析】利用诱导公式化简条件，再利用二倍角公式将目标式化为齐次式，代入正切值可得.

【详解】因为，

所以

.

故选：B.

8．B

【分析】利用两角和（差）的余弦公式化简可得，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，

即，

即

即，即，所以，

所以

.

故选：B

9．BD

【分析】利用诱导公式化简可得，可判断选项A；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B和C；利用诱导公式化简可得，可判断选项D．

【详解】对A：，故不是的周期，A错误；

对B：令，则，

则，

∵，则，

∴在上单调递增，且，

又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；

对C：∵，则，

∴，则，

又∵在上单调递增，且，

∴在上最大值为，

即在上有最大值，C错误；

对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.

故选：BD.

【点睛】结论点睛：

若，则关于直线对称，特别地，则关于直线对称；

若，则关于点对称，特别地，则关于点对称.

10．AB

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.

【详解】

，故A正确；

函数的最小正周期为，故B正确；

由，得，故C错误；

由的图象向左平移个单位长度，

得

，故D错误.

故选：AB

11．ABC

【分析】根据三角恒等变换求出，根据三角函数的图象性质即可求解.

【详解】，

所以，

对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，

即，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，由

解得，

所以函数的单调递减区间为，C正确；

因为所以

因为在上有3个零点，所以，

解得，D错误，

故选:ABC.

12．BC

【分析】根据二倍角公式化简，由周期可得，代入即可判断A,根据整体法即可判断BD，令，根据即可求解满足条件的零点，即可判断C.

【详解】.

由最小正周期为，可得，故，

对于A,,故A错误；

对于B,当时，，此时单调递增，故B正确；

对于C，令，

所以或，

当时，满足要求的有 故有5个零点，故C正确；

对于D,  当时，，则故，所以D错误.

故选：BC.

13．BCD

【分析】利用两角和的正弦公式，二倍角公式和辅助角公式化简得，根据求解函数的对称轴即可求得，A错，故，然后逐项根据函数的性质分别判断即可.

【详解】

，

则令，

得，

因为图象中离轴最近的对称轴为，且，

则，故，A错；

则，

故的最小正周期为，B正确；

把代入，

求得，故是的一个对称中心，C对；

令，

解得，

即的单调递增区间为，D正确.

故选：BCD

14．AD

【分析】利用函数的图像变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性和图像的性质，可得结论.

【详解】由题意可得：函数，将其向右平移个单位可得，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，可得，

故可得函数的周期,故A正确；

令，可得，故不是函数的一个对称中心，故B错误；

当，可得，由正弦函数性质，可得函数在不单调，故C不正确；

由，可得是函数的对称轴，故D正确；

故选：AD

15．1

【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；

解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.

【详解】解法1：，

而，

∴．

解法2：由射影定理，，

又由题意，，∴，故，∴，

∵，∴，故．

故答案为：1

16．

【分析】先通过以及确定的范围，进而可得，再利用两角差的余弦公式展开计算即可.

【详解】,

，又，

若，则，与矛盾，

，

，

.

故答案为：.

17．/

【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而求，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，即.

所以，解得.

所以.

故答案为:.

18．

【分析】先化简，再代值计算即可

【详解】解：因为，

所以

，

故答案为：

19．(1)

(2)周长的取值范围为

【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化即可.

（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.

【详解】（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.

选条件②：因为，所以

所以，又因为，所以，所以，所以，

选条件③：由正弦定理可得

即，又因为，所以，因为，所以.

（2）

，，

则即，

即周长的取值范围为.

20．(1)；

(2).

【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；

（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.

【详解】（1）因为，

所以，即，

又，，

所以，

所以，即，又，，

所以，即；

（2）因为，所以，又，

可得，

在中，，

所以，

在中，，

因为为锐角三角形，

所以，得，

所以，

所以，即的取值范围为.