第1练 任意角和弧度制及三角函数的概念《2024新高考数学一轮复习同步精练之三角函数与解三角形》（解析版）

第1练  任意角和弧度制及三角函数的概念

一、单选题

1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（    ）（参考数值：）

A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m

4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ）

A． B．16π C．18π D．

5．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）（    ）

A． B． C． D．1

6．（2023·全国·高一专题练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

8．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023春·江西九江·高一校考期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．，则 D．若，则

10．（2023春·湖北恩施·高一校联考期中）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．的长度为

B．扇形的面积为

C．当与重合时，

D．当时，四边形面积的最大值为

11．（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（    ）

A．经过1后，扇形AOB的面积为

B．经过2后，劣弧的长为

C．经过6后，质点B的坐标为

D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即

12．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ）

A．面积的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最大值为

13．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）已知函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，f(x)的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为，则（    ）

A．

B．f(x)在区间内单调递增

C．f(x)的图像关于点对称

D．f(x)的图像关于直线对称

14．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（    ）

A． B．1 C．0 D．2

三、填空题

15．（2023·全国·高一专题练习）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为和的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为．若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为              .

16．（2023春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为           ．

17．（2023·全国·高三专题练习）已知，现将的图象向左平移个单位长度，再向下平移两个单位长度，得到的图象，则满足的的取值集合为      ．

18．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为           .

四、解答题

19．（2023·北京·统考高考真题）设函数．

(1)若，求的值．

(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．

条件①：；

条件②：；

条件③：在区间上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

20．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．

(1)求扇形的周长；

(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．

参考答案：

1．A

【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，

由题意知，，解得：，

所以圆锥的侧面积为.

故选：A.

2．C

【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.

【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.

由已知可得，，所以.

如图，作出圆锥、圆台的轴截面

则有，所以.

所以圆台的侧面积为.

故选：C.

3．D

【分析】由题意，前轮转动了圈，根据圆的周长公式即可求解.

【详解】解：由题意，前轮转动了圈，

所以A，B两点之间的距离约为，

故选：D.

4．D

【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积.

【详解】底面积为9π，即，

所以底面圆的半径,

所以底面圆周长为，

即圆锥侧面展开图的弧长，

又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，

所以扇形半径，

如图所示：则圆锥的高，

则圆锥的体积.

故选：D

5．C

【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案.

【详解】

.

故选：C

6．A

【分析】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.

【详解】，即，则，.

故.

故选：A

7．B

【分析】根据三角函数的定义求出与，再结合及求出，利用余弦差角公式求出答案.

【详解】由题意得：，，，

因为，所以，

因为，所以，故，

所以

.

故选：B

8．B

【分析】根据三角函数的定义求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同时除以，再代入的值计算即可得解.

【详解】由已知条件可知，点在直线上，则，，

所以，.

故选：B.

9．AD

【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误.

【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．

由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．

当时，，，所以C错误．

反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．

故选：AD．

10．ACD

【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.

【详解】解：依题意圆的半径，，，，

所以的长度为，故A正确；

因为，所以扇形的面积，故B错误；

当与重合时，即，则，则，故C正确；

因为，所以

所以当，即时，故D正确；

故选：ACD

11．BD

【分析】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.

【详解】对于，由题意可知：经过1后，，

所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；

对于，经过2后，，

所以此时劣弧的长为，故选项正确；

对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；

对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，

故选：.

12．BCD

【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

【详解】，

圆C是以为圆心，为半径的圆.

对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，

，故选项A错误；

对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；

对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，

，故选项C正确；

对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；

故选：BCD.

13．AB

【分析】由题意求出的解析式，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案.

【详解】令f(x)=0，则，所以，k∈Z或，k∈Z，

解得，k∈Z或，k∈Z，

所以f(x)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，

所以，解得ω=2，所以，所以f(x)的周期，

当时，，令f(x)=0，即，

又0＜φ＜π，所以或，

所以或，由得，

所以，，A项正确；

由，得，所以f(x)在区间内单调递增，B项正确；

，所以f(x)的图像不关于点对称，C项错误；

，所以f(x)的图像不关于直线对称，D项错误．

故选：AB．

14．BC

【分析】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可.

【详解】由题设，故，整理得，

所以或.

故选：BC

15．

【分析】扇子是由圆台侧面展开所得，根据圆台是由大圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥，即可求圆台的高.

【详解】设一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，

设该圆锥的底面半径为，所以，，可得，

因此，该圆锥的高为，

故侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形的圆锥的

高为，

因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，

则该几何体的高为.

故答案为: .

16．/

【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可.

【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，

，解得：，，

圆锥体积.

故答案为：.

17．

【分析】先利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求解即可.

【详解】解：由题意可知，．

令，则，

即，，得，，

故取值集合为．

故答案为：

18．

【分析】由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.

【详解】因为，又，所以，所以，，

当且时，，

因为在区间上单调递减，则，

即，即，

因为，则，则且，故，从而，

因此，的最大值为.

故答案为：.

19．(1).

(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.

【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；

（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．

【详解】（1）因为

所以，

因为，所以.

（2）因为，

所以，所以的最大值为，最小值为.

若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；

若选条件②：因为在上单调递增，且，

所以,所以,,

所以，

又因为，所以，

所以，

所以，因为，所以.

所以，；

若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最小值，即.

以下与条件②相同．

20．(1)

(2)

【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；

（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.

【详解】（1）由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；

（2）设，则，，

所以，

所以矩形的面积

，

，所以当时，取得最大值，

即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.