江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

2023～2024学年度第一学期第一次阶段练习

八年级  数学

注意事项：

本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列说法正确的是（    ）

A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等

C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等

3．如图，，只需补充一个条件，就可得．下列条件中不符合要求的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．平分

5．如图，若和的面积分别为，则（    ）

A． B． C． D．

6．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．如图，与关于直线对称，则______．

8．角是轴对称图形，它的对称轴是______．

9．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法共有______种．

10．如图，平分于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为______．

11．如图，，点在一条直线上，交于点，若，则______．

12．如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则______．

13．三个全等三角形按如图的形式摆放，则______．

14．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______．

15．如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为的面积记为，则______．

16．已知，四边形和四边形中，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形．

下列四个条件：①；②；③；④．其中，符合要求的条件的有______．（填所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，共68分）

17．（6分）如图，点在线段上，且，连接、，求证：．

18．（5分）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，分别固定在以为公共端点的四根木条上，且可以在中间的两根木条上滑动，．求证：．

19．（8分）

       图1                       图2                    图3

（1）已知：如图1，和相交于点．证明：．

（2）由第（1）题，你能想到不同于图2中用直尺和圆规作角平分线的方法吗？试在图3中，用直尺和圆规作出的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）

20．（8分）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，于交的延长线于．

（1）求证：．

（2）求的长．

21．（8分）证明：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等．

22．（6分）如图，平行线是一条灌溉渠道的两岸，是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，那么此桥应该架在何处？请你用直尺和圆规作出桥的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

23．（8分）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动．设运动时间为．

（1）第时，______，______．（用含的代数式表示）

（2）当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．

24．（8分）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．

（1）求证：平分；

（2）若，且，求的面积．

25．（11分）

     图1                      图2                   图3                        图4

【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．

【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______；

【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否任然成立？说明理由．

【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．

2023～2024学年度第一学期第一次阶段练习

八年级  数学  参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．90 8．角平分线所在直线 9．3 10．8

11．95 12．34 13．180 14．19

15．10 16．①②④

三、解答题（本大题共9小题，共68分）

17．（本题6分）

证明：，，即，

，，又，

在和中，，．

18．证明：在和中，

，．

同理．．

19．（本题8分）

（1）证明：在和中，

即

在和中

（2）解：如图所示，即为所求．

20．（本题8分）

解：（1）如图，连接，

，且为的中点，

即垂直平分，

．的平行线，，

．

在和中，

．．

（2）在和中

．．

，．

，．

，，，．

21．（本题8分）

已知：如图，和中，于，于．

求证：．

证明：于，于，

，

在与中，

．．

在与中，

．

22．（本题6分）

解：如图，线段即为所求作桥梁

文字说明：

过点作的垂线，并在此垂线上截取等于渠道的宽度，

作关于直线的对称点

连接，并做的垂直平分线，交直线于点

过点作直线的垂线，交直线于点

线段即为所求桥梁

23．（本题8分）

解：（1），

（2）当时，．

．

当时，．

点为的中点，．

．

综上所述，或时，符合题意．

24．（本题8分）

（1）证明：过点作于，于，

，，

，．

平分，又，．

平分，，

，，平分．

（2）解：，

，即，解得，，

，

的面积．

25．（本题11分）

解：【初步探索】 

【探索延伸】  结论仍然成立

证明：延长到，使，连接，

在和中

在和中

【结论运用】  解：连接，延长交于点

符合探索延伸中的条件

结论成立

即海里

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．

【灵活变通】