宁夏银川市二中2023-2024学年高三数学（文）上学期统一检测（二）（Word版附解析）

银川二中2023-2024学年第一学期高三年级统练二

文科数学试题

注意事项：

1.本试卷共22小题，满分150分，考试时间为120分钟.

2.答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，交回答题卡.

一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）.

1. 已知集合则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知命题，则命题的否定为（    ）

A.

B

C.

D.

3. 设,则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为假命题的是（    ）

A.  B.

C  D.

5. 若，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. ，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知x，y满足约束条件，则最大值为（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

8. 关于函数，下列说法错误的是（    ）

A. 定义域为 B. 图象关于轴对称

C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增

9. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

10. 函数的图象大致为（ ）

A.

B.

C.

D.

11. 函数在在区间上单调递增，则k得取值范围（    ）

A.  B.

C.  D. （-，1]

12. 函数满足对任意都有成立，函数的图象关于点对称，且，则（    ）

A. -4 B. 0 C. 4 D. 8

二､填空题（本大题4小题，共20.0分）

13. 已知在点处的切线为直线，则__________.

14. 计算______．

15. 某节晚自习，因一人恶作剧导致班级秩序混乱.班主任调查时，甲说：“是乙的问题”；乙说：“是丙的问题”；丙说：“甲说的没错”；丁说：“反正不是我的问题”.若四个人中只有一个人说的是真话，则搞恶作剧的同学是__________.

16. 若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有__________.（填出函数序号）

三､解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（一）必考题（共60分）

17. 已知集合.

（1）若，求；

（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18. 已知函数，当时，，当时，.

（1）求的解析式；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.

19. 已知是定义在上的奇函数，且时，.

（1）求函数的解析式；

（2）画出函数的图象并写出函数的单调区间.

20. 为了保护环境，某工厂在政府部门支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品.

（1）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.

21. 已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．

（二）选考题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线交曲线于两点.

（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，若点到两点的距离之积是16，求的值.

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

银川二中2023-2024学年第一学期高三年级统练二

文科数学试题

注意事项：

1.本试卷共22小题，满分150分，考试时间为120分钟.

2.答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，交回答题卡.

一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）.

1. 已知集合则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【详解】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

2. 已知命题，则命题的否定为（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可

【详解】的否定为.

故选：D.

3. 设,则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】由题意，成立，比如取，推不出成立，

当成立时，一定成立，

故是的必要不充分条件，

故选：B

4. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为假命题的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式可判断命题的真假，根据不等式性质可判断的真假，即可由复合命题的性质判断命题真假．

【详解】命题：，，

因为，所以命题为真命题

命题：若，则，当时不等式不成立，所以命题为假命题

由复合命题真假判断可知A：真命题;B：为真命题;

C：为假命题;D：为真命题.

故选：C

【点睛】本题考查了命题真假的判断，复合命题真假的判断，属于基础题．

5. 若，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】举反例说明ABC错误，利用作差法证明D正确.

【详解】当时满足，

所以，所以A错误，

所以，故B错误，

所以，故C错误，

因为，又，

所以，

所以，

故选：D.

6. ，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为，，，

所以，因此，

故选：C

7. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的特殊点，即可求出目标函数的最大值.

【详解】约束条件，表示的可行域如图：

由可得，

目标函数经过可行域内的点时，目标函数取得最大值9．
故选：C．

8. 关于函数，下列说法错误的是（    ）

A. 定义域为 B. 图象关于轴对称

C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增

【答案】B

【解析】

【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.

【详解】因为,

所以，

所以定义域为，故A正确；

因为，

所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;

又在上单调递减，

所以在上单调递增，

又在上单调递增，

所以在上单调递增，故D正确.

故选：B.

9. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.

【详解】函数中，

在上单调递减，在上单调递减，且，

则函数在定义域上单调递减，

，

，解得：，

即不等式的解集为.

故选：D

10. 函数的图象大致为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：解:令,解得,该函数有三个零点,故排除B；当时,,,,当时,,排除C、D．故选A．

考点：函数的图象．

11. 函数在在区间上单调递增，则k得取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D. （-，1]

【答案】B

【解析】

【分析】将问题转化为即在上恒成立，利用导数求出函数在上的最大值即可求得k的范围.

【详解】因为，

由题意知在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

故.

故选：B.

12. 函数满足对任意都有成立，函数的图象关于点对称，且，则（    ）

A. -4 B. 0 C. 4 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性及周期性，逐步转化计算，即可得到本题答案.

【详解】因为函数的图象关于点对称，

所以函数的图象关于对称，即为上奇函数，

所以，且，

又因为，所以，

所以，则的周期为4，

因为，令得，

所以，

.

故选：A

二､填空题（本大题4小题，共20.0分）

13. 已知在点处的切线为直线，则__________.

【答案】##-0.5

【解析】

【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.

【详解】因为，所以，

因为在点处的切线为直线，

所以，解得.

故答案为：

14. 计算______．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.

【详解】

.

故答案为：.

15. 某节晚自习，因一人恶作剧导致班级秩序混乱.班主任调查时，甲说：“是乙的问题”；乙说：“是丙的问题”；丙说：“甲说的没错”；丁说：“反正不是我的问题”.若四个人中只有一个人说的是真话，则搞恶作剧的同学是__________.

【答案】甲

【解析】

【分析】由题意得到甲和丙说的都是假话，得到搞恶作剧的同学不是乙，再假设乙说的是真话，得到矛盾，得到乙说的也是假话，搞恶作剧的不是丙，进而得到甲乙丙说的都是假话，丁说了真话，即可求解.

【详解】由题意，甲和丙说的话一定是同真同假，而四个人中只有一个人说的是真话，

所以甲和丙说的都是假话，可得搞恶作剧的同学不是乙；

假设乙说的是真话，那么丁说的也是真话，与只有一个人说的是真话矛盾，

所以乙说的也是假话，搞恶作剧的不是丙，

甲乙说的都是假话，那么只能是丁说了真话，所以搞恶作剧的也不是丁，

综上可得，搞恶作剧的同学是甲.

故答案为：甲.

16. 若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有__________.（填出函数序号）

【答案】③④

【解析】

【分析】根据函数的单调性和奇偶性，逐项判断，即可得到本题答案.

【详解】若是“理想函数”，则满足：①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；②对于定义域上的任意，当时，恒有，即，所以时，，或时，，即函数是单调递减函数，故为定义域上的单调递减的奇函数.

①是定义域为的奇函数，但在定义域上不单调，所以不是单调递减函数，即不是“理想函数”；

②，定义域为，当时，单调递增，所以不是“理想函数”；

③在定义域上为减函数，且，所以是“理想函数”；

④，图象如下，在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”.

故答案为：③④

三､解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（一）必考题（共60分）

17. 已知集合.

（1）若，求；

（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；

（2）根据题意得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.

【小问1详解】

解：当时，集合，可得或，

因为，所以.

【小问2详解】

解：若“”是“”的充分不必要条件，即，

当时，即时，此时，满足，

当时，则满足且不能同时取等号，解得，

即实数的取值范围为.

18. 已知函数，当时，，当时，.

（1）求的解析式；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次函数、一元二次不等式与一元二次方程的关系，将函数的两个零点代入方程中，即可求得的值，进而得的解析式；

（2）将的值代入不等式，由一元二次不等式恒成立，结合二次函数的性质，即可求得的取值范围.

【详解】（1）根据函数与不等式关系，函数，当时，

可知方程的两个根分别为，且.

代入方程可得

解方程组可得

代入解析式可得

（2）将代入不等式可得

由二次函数性质知满足

解得

所以的取值范围为

【点睛】本题考查了二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.

19. 已知是定义在上的奇函数，且时，.

（1）求函数的解析式；

（2）画出函数的图象并写出函数的单调区间.

【答案】（1）   

（2）图象见解析；

【解析】

【分析】（1）利用单调性求出时的解析式，即可求出函数的解析式；

（2）做出函数图像，利用图象即可得出函数的单调区间.

【小问1详解】

由题意，

在中，是定义在 上的奇函数，

当 时, ,

∴，当 时,

∴

【小问2详解】

由题意及（1）得，

在中，

作出函数的图象如下图所示，

∴ 的单调增区间为.

20. 为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品.

（1）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.

【答案】（1）元；（2）吨.

【解析】

【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；

（2）确定处理每吨二氧化碳的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．

【详解】（1）当时，设该工厂获利为，则，

所以当时，，因此，该工厂不会获利.

所以国家至少需要补贴元，才能使工厂不亏损；

（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：.

①当时，所以 ，

因为，所以当时， ，为减函数，当时， ，为增函数，

所以当时， 取得最小值；

②当时，.

当且仅当时，即时， 取最小值.

因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少.

【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查导数与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.

21. 已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）当时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出在区间上的最值；

（2）由，分离参数得，根据函数得单调性作图，结合图像即可得出答案.

【详解】解：（1）当时，，，

∴在单调递减，在单调递增，

，，

∴，.

（2），则，

∴在单调递增，在单调递减，

，当时，，当时，，

作出函数和得图像，

∴由图象可得，.

（二）选考题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线交曲线于两点.

（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，若点到两点的距离之积是16，求的值.

【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据公式，代入化简即可；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化简得，根据参数的几何意义及韦达定理计算即可.

【详解】解：（1）直线的直角坐标方程为，

所以直线的极坐标方程为.

由，得.

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数坐标方程代入中，

得

设对应的参数分别为，则.

，或

，

【点睛】将参数方程化为普通方程的方法：

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法；

常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【解析】

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

  当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式  

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.