2024年数学高考大一轮复习第十章 §10.3　二项式定理

§10.3　二项式定理

考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识梳理

1．二项式定理

2.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项________________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________________与________________相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝________.

常用结论

1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

2．C＝C＋C.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)

(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)

(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　　)

(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　　)

教材改编题

1.10的展开式中x2的系数等于(　　)

A．45  B．20  C．－30  D．－90

2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)

A．31  B．32  C．15  D．16

3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．

题型一　通项公式的应用

命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项

例1 (1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)

A．－45  B．－10  C．45  D．65

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(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.

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命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题

例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)

A．56  B．84  C．112  D．168

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(2)若6的展开式中x－2的系数为75，则a等于(　　)

A．－3   B．－2

C．2   D．3

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思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____(用数字作答)．

(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．

题型二　二项式系数与项的系数问题

命题点1　二项式系数和与系数和

例3 (1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)

A．50  B．70  C．90  D．120

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(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.

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命题点2　系数与二项式系数的最值问题

例4 (2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中错误的是(　　)

A．常数项为－160

B．第4项的系数最大

C．第4项的二项式系数最大

D．所有项的系数和为1

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思维升华 赋值法的应用

一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．

跟踪训练2 (1)对于6的展开式，下列说法中正确的有(　　)

①所有项的二项式系数和为64；

②所有项的系数和为64；

③常数项为1 215；

④系数最大的项为第3项．

A．①④  B．②④  C．①②③  D．②③④

(2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．

题型三　二项式定理的综合应用

例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　)

A．0  B．1  C．11  D．12

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(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)

A．1.23   B．1.24

C．1.33   D．1.34

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思维升华 二项式定理应用的题型及解法

(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．

(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.

跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)

A．－3  B．2  C．10  D．11

(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)

A．0.940   B．0.941

C．0.942   D．0.943