高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.5二项式定理5大题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.5二项式定理5大题型(精练)(原卷版+解析)，共17页。


【题型一 求特定项的系数】
1. (2023·广东模拟）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（ ）
A．-210B．3360C．210D．16
2. (2023·江阴模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
3.(2023·江西模拟）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·浙江模拟）在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A．-674B．-675C．-1080D．1485
5．(2023·全国高三课时练习）在的展开式中，有理项共有（ ）项
A．3B．4C．5D．6
3．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．-480B．480C．-240D．240
6. (2023·汕头模拟） 展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【题型二 已知项的系数求参】
1.(2023·四川模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为 .
2.(2023·武昌模拟）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
3．(2023·石家庄模拟）已知的展开式中常数项为，则（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（ ）
A．-120B．-40C．40D．120
【题型三 二项式定理的性质】
1.(2023·唐山二模）展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．C．和D．和
2. (2023·莆田三模）（多选）已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
3．(2023·高三课时练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
4.(2023·广东高三模拟）假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
5. (2023·浙江高三模拟）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）．
A．9B．10C．11D．12
【题型四 二项式系数和及系数和问题】
1. (2023·岳阳模拟）（多选）已知则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·鹤壁模拟）设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．-1
3.(2023·济北中学高三月考）已知 ，则 的值为 ．
4. (2023·上虞模拟）设（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100，求下列各式的值．
（1）a0；
（2）a1+a2+a3+…+a100；
（3）a1+a3+a5…+a99；
（4）（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2；
（5）|a0|+|a1|+…+|a100|．
5. 若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
6. (2023·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【题型五 二项式定理的应用】
1. 设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0B．1C．11D．12
2. 设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A．B．2C．10D．11
3.(2023·全国高三课时练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
4. 某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
5. 若，则被4除得的余数为 .
9.5 二项式定理5大题型
【题型解读】
【题型一 求特定项的系数】
1. (2023·广东模拟）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（ ）
A．-210B．3360C．210D．16
答案：B
【解析】数据0，2，0，2的平均值为1，故方差，
故二项式为，其展开式的通项公式，令，解得，
故常数项为.故答案为：B.
2. (2023·江阴模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
答案：B
【解析】因为二项式为，
所以其展开式中，含项的二项式系数为：
，，，，
，.故答案为：B
3.(2023·江西模拟）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由二项式定理，展开式中的常数项是，
即，因为是等差数列，所以．故选：D．
4. (2023·浙江模拟）在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A．-674B．-675C．-1080D．1485
答案：A
【解析】，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．故答案为：A．
5．(2023·全国高三课时练习）在的展开式中，有理项共有（ ）项
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】因为展开式的通项为，
因为为整数且，所以可取，所以有理项一共有项，故选：C.
3．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．-480B．480C．-240D．240
答案：A
【解析】看成是6个相乘，要得到.分以下情况：
6个因式中，2个因式取，1个因式取，3个因式取，此时的系数，所以的系数为-480.故答案为：A
6. (2023·汕头模拟） 展开式中 的系数为 （用数字作答）．
答案：5
【解析】因为（1+x）5的展开式通项为 （k=0，1，2，3，4，5），
①当k=2时，展开式中x2项为，
②当k=4时，展开式中x2项为，
所以，展开式中x2的系数为10-5=5.
故答案为：5
【题型二 已知项的系数求参】
1.(2023·四川模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为 .
答案：±2
【解析】因为＝ ， 令，得，
所以，即，解得. 故答案为：±2.
2.(2023·武昌模拟）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
答案：B
【解析】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
3．(2023·石家庄模拟）已知的展开式中常数项为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】展开式中第项
当时，，时，，
所以的展开式中常数项为，
所以，得.
故选：A
4. (2023·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（ ）
A．-120B．-40C．40D．120
答案：A
【解析】在二项式 中，令 ，可得 ，解得 ，
的展开式通项为 ，
因为 ，
在 ，令 ，可得 ，
在 中，令 ，可得 ，
因此，展开式中 的系数为 .故答案为：A.
【题型三 二项式定理的性质】
1.(2023·唐山二模）展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．C．和D．和
答案：C
【解析】展开式的通项公式为，
因为展开式共有8项，
所以第4项和第5项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为和，
即为和，
故选：C
2. (2023·莆田三模）（多选）已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
答案：A,C
【解析】因为展开式的通项公式，所以
当，A符合题意；
当时，，B不符合题意；
的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C符合题意；
根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D不符合题意.
3．(2023·高三课时练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
答案：
【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，化简可得：
经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.
故答案为: .
4.(2023·广东高三模拟）假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
答案：
【解析】由二项式知：，而项的系数是，
∴时，有且为奇数，又由，
∴可得.
∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：，
∴.
故答案为：.
5. (2023·浙江高三模拟）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）．
A．9B．10C．11D．12
答案：B
【解析】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，
可得，解得.
故选：B.
【题型四 二项式系数和及系数和问题】
1. (2023·岳阳模拟）（多选）已知则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A,D
【解析】因为，
令，则，A符合题意；
令，则，所以，B不符合题意；
令，则，
所以，，，
所以，C不符合题意；
对两边对取导得
，再令得，D符合题意；
故答案为：AD
2．(2023·鹤壁模拟）设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．-1
答案：A
【解析】∵，对其两边求导数，
∴，
令，得，①
又，②
∴，∴，解得，
故答案为：A．
3.(2023·济北中学高三月考）已知 ，则 的值为 ．
答案：78
【解析】令 ，可得 ，
令 ，可得 ①
令 ，则 ②
所以②①可得： ，
所以 ，即 。
故答案为：78。
4. (2023·上虞模拟）设（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100，求下列各式的值．
（1）a0；
（2）a1+a2+a3+…+a100；
（3）a1+a3+a5…+a99；
（4）（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2；
（5）|a0|+|a1|+…+|a100|．
答案：（1）a0=2100（2）﹣2100（3）．
（4）1（5）
【解析】在（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100中，
（1）令x=0可得a0=2100．
（2）令x=1，可得2100+a1+a2+a3+…+a100 =①，∴a1+a2+a3+…+a100 =﹣2100．
（3）令x=﹣1，可得得2100﹣a1+a2﹣a3+…+a100 =②，
由①②求得a1+a3+a5…+a99 =．
（4）由①②还可得到 a0+a2+…+a100 =，
∴（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2 =（a0+a1+a2+…a100）（a0﹣a1+a2+…+a100）=（2﹣）100 •（2+）100 =1．
（5）|a0|+|a1|+…+|a100|即（2+x）100的展开式中各项系数的和，
在（2+x）100的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为．
5. 若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
答案：
【解析】取，则的展开式中各项系数的和为：.
故，则，
的展开式：；的展开式：
取得到：，取得到系数为；
取得到：，取得到系数为；
综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。
故答案为：。
6. (2023·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【解析】（1）若选①：
因为只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式中共有9项，即，得，
若选②：
因为第4项与第6项的二项式系数相等，
所以，
若选③：
因为奇数项的二项式系数的和为128，
所以，解得.
因为，
令，则有，
即有，
令，得，
所以；
综上所述：；
（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有，
，
两边求导得，
令，
则有，
所以.
【题型五 二项式定理的应用】
1. 设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0B．1C．11D．12
答案：D
【解析】
因为能被13整除，所以能被13整除
因为，且，所以，
故选：D
2. 设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A．B．2C．10D．11
答案：C
【解析】
因为为奇数，则上式=.
所以除以13的余数是10.
故选：C.
3.(2023·全国高三课时练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
答案：B
【解析】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．
故选：B．
4. 某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
答案：
【解析】根据二项式定理可得：
,
故答案为：
5. 若，则被4除得的余数为 .
答案：1
【解析】由题知，时，①，
时，②，由①+②得，
，
故
所以被4除得的余数是1.
故答案为：1.