初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数精品一课一练

这是一份初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数精品一课一练，共23页。试卷主要包含了今年是全民义务植树开展40周年，下列说法正确的是，下列说法中正确的是，若与互为相反数，则的值是，计算的结果是，定义等内容，欢迎下载使用。
第一章�有理数�章末检测卷（人教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．今年是全民义务植树开展40周年．40年来，全民义务植树在中华大地蓬勃展开．截止12月13日，全国适龄公民累计17500000000人次参加义务植树，累计植树78100000000株（含折算），数据“17500000000”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是(   )
A．-1的相反数是1 B．-1的倒数是1
C．-1的绝对值是±1 D．-1是最小的负整数
3．如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（    ）

A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
4．下列说法中正确的是（　　）
A．正分数和负分数统称为分数
B．正整数、负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数
D．一个有理数不是正数就是负数
5．已知有理数，在数轴上表示的点如图所示，则下列结论中正确的是（   ）

A． B．
C．小于 D．
6．若与互为相反数，则的值是（    ）
A．－1 B．1 C．2021 D．－2021
7．计算的结果是（    ）
A．-1009 B．-2018 C．0 D．-1
8．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把－25到－30这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最小值是（   ）

A．－84 B．－85 C．－86 D．－87
9．定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（    ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
10．有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（　　）
A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
11．若a，b互为相反数，则（a+b﹣1）2016＝ ．
12．已知：、互为相反数，、互为倒数，，则 ．
13．比较大小： ．
14．某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：）：+7，-9，+8，-6，-5．则收工时检修小组在A地 边 ．
15．定义一种新运算“”：．如：，则 ．
16．使得是完全平方数的整数的值是 ．
17．若，的最大值和最小值的差 ．
18．如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 ．


评卷人
得分



三、解答题
19．把下列各数分别填入相应的集合里．
－3，，0，，－3.14，20，－（+5），＋1.88
(1)正数集合：｛                                 …｝；
(2)负数集合：｛                                 …｝；
(3)整数集合：｛                                 …｝；
(4)分数集合：｛                                 …｝；
20．计算：
(1)－2×(－3)－（－8）÷4；
(2)(＋－)×12
(3)；
(4)．
21．综合与实践：一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向西走了2千米到达小琪家，然后又向东走了4千米到达小莉家，继续向东走了3.5千米到达小刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点分别表示饭店，小莉家，小刚家和小琪家．

(1)请你在数轴上表示出点的位置；
(2)小刚家距小琪家多远？
(3)小莉步行到小刚家，每小时走5千米；小琪骑自行车到小刚家，每小时骑15千米．若两个人同时分别从自己家出发，问两个人能否同时到达小刚家？若不能，谁先到达？
22．已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示．

（1）判断正、负，用“＞”“＜”填空：a＋b 0，c－a 0，b＋c 0，b－c 0，a－b 0；
（2）化简：|a|＋|a＋b|＋|c－a|－2|b＋c|－| b－c |＋| a－b |．
23．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0；

(1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数 ；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t表示）．
24．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．

(1)A与两点之间的“直角距离”______；
(2)点为轴上的一个动点，当的取值范围是______时，的值最小；
(3)若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
25．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．
26．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1
（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为　 　；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时．要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：17500000000
故选D
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．A
【分析】根据相反数和倒数以及绝对值的概念求解即可．
【详解】解：A、-1的相反数是1，故选项正确，符合题意；
B、-1的倒数是-1，故选项错误，不符合题意；
C、-1的绝对值是1，故选项错误，不符合题意；
D、-1是最大的负整数，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了-1的相反数和倒数以及绝对值的概念，解题的关键是熟练掌握相反数和倒数的概念．
3．A
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．
【详解】解：如图某用户微信支付情况，−100表示的意思是发出100元红包
故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
4．A
【分析】按照正负，有理数分为正数、0、负数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；以此查看选项作答即可．
【详解】A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；
B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．零是有理数，但零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是不能混淆整数和正数，注意0的划分范围．
5．A
【分析】由数轴上，右边的数总是大于左边的数，得到a>0>b，且，再根据有理数的运算法则解答．
【详解】解：根据数轴可知a>0>b，且，
，，故A正确，B错误，
，故C错误，
，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查数轴上两数比较大小及有理数的运算法则，是基础考点，掌握数形结合的思想是解题关键．
6．A
【分析】由偶次幂及绝对值的非负性可知，，然后代入求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算、绝对值的非负性及代数式的值，掌握偶次幂及绝对值的非负性是解题的关键．
7．A
【分析】利用加法的结合律将原式整理成即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，解题的关键是掌握相应的运算法则．
8．A
【分析】三个顶角分别是−29，−30，−28，−29与−30之间是−-25，−29和−28之间是−27，−30和−28之间是−26，这样每边的和才能相等并且S有最小值．
【详解】解：如图，

由图可知S=−29+(−25)+(−30)=−84．
故选∶A．
【点睛】本题考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是−25～−30这6个数最小的三个数字．
9．D
【分析】由新定义可得：利用新定义逐一计算判断，从而可得答案.
【详解】解：根据新定义可得： 故①不符合题意；
故②符合题意；
，

解得： 故③符合题意；

，故④符合题意，
故选D
【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键.
10．A
【分析】根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得的最小值与最大值．
【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内，
∴5≤m≤15，20≤n≤30，
∴的最小值为，最大值为
∴的一切值所在的范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出的最大与最小值．
11．1
【分析】根据相反数的性质得a+b=0，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴（a+b﹣1）2016＝，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查相反数的性质和有理数的乘方，关键是正确理解相反数的性质．
12．1或-3/-3或1
【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可以得到a+b＝0，cd＝1，m＝±2，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
当m＝2时，；
当m＝﹣2时，；
故答案为：1或-3．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
13．>
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负数，绝对值大的其值反而小，比较即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴．
故答案为：＞
【点睛】本题考查了有理数大小比较，绝对值的性质，要熟练掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
14． 西 5
【分析】将题中数据求和，根据结果的正负可判断方向，根据数值的大小可判断收工时检修小组与A地的距离．
【详解】解：由题意得：
+7-9+8-6-5
=（7+8）-（9+6+5）
=15-20
=-5（km），
∴收工时检修小组在A地西边5km．
故答案为：西，5．
【点睛】此题主要考查了正数、负数的特征和应用，有理数加法运算及应用，解答此题的关键是要明确：用正负数表示两种具有相反意义的量．
15．4
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：∵，
∴=．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
16．4
【分析】由5×2n+1是完全平方数，可设5×2n+1=m2 （其中m为正整数），可得5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），即可得m为奇数，然后设m=2k-1（其中k是正整数），即可得方程组，解方程组即可求得答案．
【详解】解：设5×2n+1=m2（其中m为正整数），
则5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），
∵5×2n是偶数，
∴m为奇数，
设m=2k-1（其中k是正整数），
则5×2n=4k（k-1），
即5×2n-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k和k-1互质，
∴或或，
解得：k=5，n=4．
因此，满足要求的整数n为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了完全平方数的知识．此题难度较大，解题的关键是将原式变形，可得5×2n=m2-1=（m+1）（m-1），然后得到m为奇数，则可设m=2k-1（其中k是正整数），从而得到方程组．
17．11
【分析】根据，而，求出，分别计算x+y的最大值和最小值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴当x=2，y=5时，x+y有最大值2+5=7，
当x=-4，y=0时，x+y有最小值-4+0=-4，
∴x+y的最大值和最小值的差为7-（-4）=11，
故答案为：11．
【点睛】此题考查了绝对值最值问题，根据式子讨论得到字母的取值范围进行计算是解题的关键．
18．11或-1/-1或11
【分析】设PQ的长度为m，当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17，由此即可求解；当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，由此即可求解．
【详解】解：设PQ的长度为m，
当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17
∴当点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，

当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，
∴点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
故答案为：11或-1．

【点睛】此题综合考查了数轴上两点的距离，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
19．(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据正数的概念即可得；
（2）根据负数的概念即可得；
（3）根据整数的概念即可得；
（4）根据分数的概念即可得．
【详解】（1）解：，，
正数集合：．
（2）解：负数集合：．
（3）解：整数集合：．
（4）解：分数集合：．
【点睛】本题考查了正数与负数、整数与分数、化简绝对值，熟记各概念和绝对值的性质是解题关键．
20．(1)8
(2)－1
(3)－12.5
(4)15.2

【分析】（1）根据有理数混合运算进行计算即可，先乘除，再加减；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先乘方，再利用乘法分配律进行计算即可；
（4）先去括号，再利用有理数加减运算进行计算即可．
【详解】（1）解：－2×(－3)－（－8）÷4
=6－（－2）
=6+2
=8
（2）解：(＋－)×12
=×12+×12－×12
=3+2－6
=－1
（3）解：
=
=
=
=－12.5
（4）解：
=
=
=11+4.2
=15.2
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算以及乘法分配律的运用，正确地计算能力是解决问题的关键．
21．(1)见解析
(2)千米
(3)不能同时到达，小琪先到达

【分析】（1）根据题意在数轴上表示出点O，A，B，C的位置即可；
（2）由（1）得，小琪家在饭店西2千米处，小刚家在饭店东5.5千米处，根据数轴即可计算；
（3）分别计算出两人所行的距离及所用时间，再进行比较，即可得答案．
【详解】（1）根据已知，以饭店为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，
外卖员骑电动车从饭店出发，向西走了2千米，即为-2，到达小琪家，
然后又向东走了4千米，即为，到达小莉家，
继续向东走了3.5千米，即为，到达小刚家，
最后回到饭店，
所以，点O，A，B，C的位置如图所示：
；
（2）由数轴可得，，
，
所以，即小刚家距小琪家有千米；
（3）由数轴可得，，
小莉用时为，
小琪用时为，
，
两人不能同时到达，小琪先到达．
【点睛】本题考查了数轴的简单应用，明确数轴的表示方法及数轴上的点与点所表示的数的关系及绝对值等概念，是解题的关键．
22．（1）＜，＜，＜，＞，＞；（2）2a－b＋2c
【分析】（1）根据数轴确定字母的符号以及大小，即可判断；
（2）根据字母和式子的符号，求解绝对值，化简即可．
【详解】解：（1）由数轴可得：，且
∴，，，，
故答案为：＜，＜，＜，＞，＞
（2）


【点睛】此题考查了数轴的应用，以及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴判断出字母以及各式子的符号．
23．(1)-2；6
(2)或14
(3)甲球与原点的距离为：t+2；当时，乙球到原点的距离为；当时，乙球到原点的距离为

【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：①当03时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离．
【详解】（1）解：∵|a+2|+|b−6|=0，
∴a+2=0，b−6=0，
解得，a=−2，b=6，
∴点A表示的数为−2，点B表示的数为6．
故答案为：−2；6．
（2）设数轴上点C表示的数为c，
∵AC=2BC，
∴|c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|，
∵AC=2BC>BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上，
①当C点在线段AB上时，则有−2⩽c⩽6，
得c+2=2(6−c)，解得：c=；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，
得c+2=2(c−6)，解得c=14，
故当AC=2BC时，c=或c=14；
故答案为：或14．
（3）∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，OA=2，
∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
当03时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)．
【点睛】本题主要考查数轴、数轴上两点之间的距离、绝对值的非负数的性质，解题的关键是掌握数轴、绝对值的非负数的性质，注意分类讨论．
24．(1)6
(2)
(3)见解析

【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据定义可得，再分段讨论即可求得
(3) ，则，根据定义，计算出即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
故答案为：6；
（2）解：根据题意得：



当时，，，
，
故此时不存在最小值，
当时，，，
，
故此时的最小值为6，
当时，，，
，
故此时不存在最小值，
综上，当时，的值最小；
故答案为：；
（3）设点P(x，y)
∵点P在第二象限，
∴x0



=
①当0