湖北省武汉市九所重点中学2024届高三上学期第一次联考数学试题（原卷及解析版）

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武汉市2024届九所重点中学第一次联考数学试卷武汉市第一中学命制2023.10.14本试卷共4页，22小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则的元素个数为（    ）A. 4 B. 5 C. 2 D. 02. 与垂直的单位向量是（    ）A.  B.  C.  D. 3. 以下满足的虚数z是（    ）A  B.  C.  D. 4. 多项式的项系数比项系数多，则其各项系数之和为（   ）A.  B.  C.  D. 5. 在集合的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 如图，三棱台中，，现在以下四项中选择一个，可以证明的条件有（    ）①；②；③；④；A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个7. 抛物线C：焦点为F，顶点为O，其上两点（均异于原点O）满足；过O点作于C，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 求值：（    ）A.  B.  C. 1 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 将三角函数经如下变换后得到的图象：①将图象向右平移个单位；②将图象向左平移个单位；③将图象向下平移个单位；④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍；以下变换顺序正确的是（    ）A. ④①③ B. ④③①① C. ②②③④ D. ③①④10. 等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（    ）A.  B.  C.  D. 11. 如图，在平整的地面上任一点O处观测点P处的太阳时，可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆，且这个圆在以O为球心，半径很大的球面上．白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分．在点O处立一根杆OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三点共线，则白天时点在地面上运动的轨迹可能是（    ）A. 一个抛物线 B. 一条直线 C. 一个半椭圆 D. 双曲线的一支12. 已知，若它的图象恒在x轴上方，则（    ）A. 的单调递增区间为B. 方程可能有三个实数根C. 若函数在处的切线经过原点，则D. 过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：______．14. 平面直角坐标系中有一直线l：，用斜二测画法画出平面的直观图，在直观图中直线l恰为x轴和y轴的角平分线，则______．15. 已知矩形和另一点E，，，且，连接交直线于点F，若的面积为6，则______．16. 一张圆形餐桌前有个人，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜．现规定每人只能在相邻两人或餐桌中心三道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记未被夹取过的菜肴数为，则______，的通项公式为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17. 等差数列中，，前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对任意正数k，均存在使得成立．18. 已知函数，（1）求的极值；（2）作在处的切线交的图象于另一点，若，求l的斜率．19. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且；边上有一点D（D不与三角形的顶点重合）满足.（1）求C的取值范围；（2）若，求A．20. 在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来的发展方向．某市大力推广新能源汽车，成果显著，该市近6年的新能源汽车保有量数据如下表，年份代号x123456保有量y（万辆）11.82.745.99.1 （1）记时对应汽车保有量为，其相较去年的增长量为，分析发现变量z和y有线性关系，试建立变量z和y的回归方程（精确到0.01）；（2）根据（1）问的结果分析：①；②；③当中哪一个更适合作为汽车保有量y与年份x的回归方程类型？判断并说明理由．附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21. 空间中的两平行平面与之间的距离为4，边长为2的等边三角形，分别在平面，中，且它们中心的连线垂直于平面；若恒成立.（1）证明：，，两两夹角相等；（2）当四面体的体积最大时，求（1）问中夹角的余弦值．22. 双曲线C：经过点，且点P到双曲线C两渐近线的距离之比为.（1）求C的方程；（2）过点P作不平行于坐标轴的直线交双曲线于另一点Q，作直线交C的渐近线于两点A，B（A在第一象限），使，记和直线QB的斜率分别为，，①证明：是定值；②若四边形ABQP的面积为5，求．