湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（ ）
A．相交或异面B．相交C．异面D．平行
2．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A．B．1C．3D．4
3．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．实数，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（ ）
A．B．C．D．
6．在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆：，，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为B．的最小值为1
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，使得
B．不存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的取值范围为
D．当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为
12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．若点在椭圆上，则的最大值为
C．若点在椭圆上，的最大值为
D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题
13．圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为 .
14．所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为 .
15．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
16．已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为 .
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知射线：，：.过点作直线分别交射线，于点A，.
(1)已知点，求点A的坐标；
(2)当线段的中点为时，求直线的方程.
18．如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量：

(1)；
(2)；
19．已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.
(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：
（i）与直线垂直；
（ii）与圆相切；
（iii）在轴上的截距大于0，
若直线与圆交于，两点，求.
20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.为上的一点，已知.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
22．已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值.
参考答案：
1．A
2．C
3．D
4．C
5．C
6．A
7．B
8．D
9．BD
10．AC
11．BC
12．ACD
13．
14．
15．
16．30
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知先求出直线的方程，与的方程联立，即可得出答案；
（2）设，，，，根据中点坐标公式以及已知求出的值，即可得出的坐标，求出斜率，即可得出答案.
【解析】（1）由已知可得，，
所以直线的方程为，
即为.
与联立
解得，
即.
（2）由题意设，，，，
则线段的中点为.
因为线段的中点为，所以，解得：.
所以，，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
故直线的方程为.
18．(1)
(2)
【分析】利用空间向量的运算求解即可.
【解析】（1）.
（2）
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）联立圆与圆的方程，求得公共弦的两个端点坐标分别为，，当圆的面积最小时，是圆的直径，求解即可；
（2）由题意设直线的方程为，结合条件直线与圆相切，在轴上的截距大于0，求得，然后利用弦长公式求解.
【解析】（1）依题意，由，解得或，
因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，，
当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程是.
（2）因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，
而直线与圆相切，则有，解得或，
又因为在轴上的截距大于0，即，所以，
即直线的方程为，而圆的圆心，半径，
点到直线：的距离为，
于是得.

20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，利用已知条件先证明线面垂直，然后再证明面面垂直即可；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，找出面的法向量，利用向量法求解面面角的余弦值即可.
【解析】（1）取中点，连接，，

∵，为中点，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，∴，
又，分别为，中点，
∴，∴，
即，
∵， 平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）连接，由（1）知：为等边三角形，
∴，；
以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

则，
∴，
由得：，
∴，
设平面的法向量，
则，
令，解得：，
∴，
∵轴平面，
∴平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21．(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）设，由化简可得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，又，，从而可求的表达式， 即可求解.
【解析】（1）设，易知，
由，得，
化简得，故椭圆的标准方程为.
（2）∵点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设直线的方程为，，，
由，得，
∴，，恒成立.
又，，
∴，
，
要使其值为定值，则，
故当，即时，.
综上，存在这样的稳定点.
22．(1)
(2)1
【分析】（1）利用椭圆的性质，及待定系数法计算即可；
（2）设的坐标及直线，利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积，根据基本不等式求出面积最值时的结论，再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.
【解析】（1）由题意得，，解之得，
故椭圆的方程为；
（2）
设，，，直线的方程为.
将代入，整理得，
，即，
则，，
故.
又原点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即（*）时，等号成立.
由，得，
代入，整理得，
即（**）.
而
，
由（*）可知，代入（**）式得.
故的值为1.
【点睛】本题关键第一是由弦长公式及点到直线的距离得出面积表达式，根据基本不等式得出面积取最值时直线方程的参数关系；第二是利用平面向量的坐标表示利用坐标表示坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理化简计算即可.