人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样学案，共9页。


知识点一 分层随机抽样的定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成eq \(□,\s\up3(01))若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行eq \(□,\s\up3(02))简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为eq \(□,\s\up3(03))总样本，这样的抽样方法称为eq \(□,\s\up3(04))分层随机抽样．
(1)层：每一个eq \(□,\s\up3(05))子总体称为层．
(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成eq \(□,\s\up3(06))比例，那么称这种样本量的分配方式为eq \(□,\s\up3(07))比例分配．
知识点二 分层随机抽样的步骤
(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分，分层需遵循eq \(□,\s\up3(01))不重复、不遗漏的原则．
(2)按比例确定每层抽取个体的个数，抽取比例由每层个体占eq \(□,\s\up3(02))总体的比例确定．
(3)各层分别按eq \(□,\s\up3(03))简单随机抽样的方法抽取．
(4)综合每层抽样，组成样本．
知识点三 样本平均数估计总体平均数
1．在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则各层个体及样本特征可由下表表示出来：
3．总体平均数eq \(W,\s\up6(－))可由样本平均数eq \(w,\s\up6(－))来估计．
eq \(W,\s\up6(－))＝eq \(□,\s\up3(05))eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \(□,\s\up3(06))eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \(w,\s\up6(－)).
知识点四 获取数据的途径
统计学是通过eq \(□,\s\up3(01))收集数据和eq \(□,\s\up3(02))分析数据来认识未知现象的．获取数据的一些基本途径有：eq \(□,\s\up3(03))通过调查获取数据、eq \(□,\s\up3(04))通过试验获取数据、eq \(□,\s\up3(05))通过观察获取数据、eq \(□,\s\up3(06))通过查询获取数据．
1．分层随机抽样的特点
由于层与层之间有明显的区别，而层内个体间的差异不明显，在抽取样本时，一般在每层抽样时随机抽样，以保证公平、公正，在实际操作时，应先计算抽样比k＝eq \f(样本量,总体个数)，然后再计算每层需要抽取的个数：抽样比×该层个体数目＝eq \f(样本量,总体个数)×该层个体数目．
2．分层随机抽样的适用条件
分层随机抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样的方法．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分层随机抽样中，每层被抽到的个体数是一样的．( )
(2)分层随机抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．( )
(3)样本平均数一定大于总体平均数．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做

(1)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获取样本时宜采用________抽样．
(2)一个班共有54人，其中男女人数比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则应抽取男同学________人．
(3)已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为2，则数据3x1,3x2,3x3,3x4的平均数是________．
答案 (1)分层随机 (2)5 (3)6
题型一 分层随机抽样的概念
例1 (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法B．简单随机抽样法
C．分层随机抽样法D．随机数法
(2)分层随机抽样又称类型随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，若分层随机抽样要保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取个体数量相同
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案] (1)C (2)C
使用分层随机抽样的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)比例分配的分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，使每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
下列问题中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
答案 C
解析 A的个体没有呈现出较大差异，不适合用分层随机抽样法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层随机抽样方法；D与B类似.
题型二 分层随机抽样的应用
例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
[解] 用比例分配的分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq \f(100,500)＝eq \f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽取125×eq \f(1,5)＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×eq \f(1,5)＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×eq \f(1,5)＝19(人)．
(3)在各层分别按随机数法抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
利用比例分配的分层随机抽样抽取样本的操作步骤
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
解 采用比例分配的分层随机抽样的方法，抽样比为eq \f(60,12000)＝eq \f(1,200).
“很喜爱”的有2435人，应抽取2435×eq \f(1,200)≈12(人)；
“喜爱”的有4567人，应抽取4567×eq \f(1,200)≈23(人)；
“一般”的有3926人，应抽取3926×eq \f(1,200)≈20(人)；
“不喜爱”的有1072人，应抽取1072×eq \f(1,200)≈5(人)．
因此，采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人.
题型三 分层随机抽样的综合应用
例3 某校高一年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试．学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
(1)求该校高一年级学生本次测试成绩的平均数．
(2)假设要抽取300名学生，按照比例分配的分层随机抽样的方法，应抽取男生多少名？女生多少名？
[解] (1)由题意并结合扇形统计图，可知男生共有1000×60%＝600(名)，女生共有1000×40%＝400(名)．由成绩的平均数条形图可得，该校高一年级学生本次测试成绩的平均数eq \(x,\s\up6(－))＝(80×600＋82.5×400)÷1000＝81(分)．
(2)抽取300名学生，采用比例分配的分层随机抽样的方法，则男生应抽取600×eq \f(300,1000)＝180(名)，女生应抽取400×eq \f(300,1000)＝120(名)．
(1)解决统计问题要做好数据的处理和数据的分析．
(2)条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分在总体的百分比大小．
有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数，统计如下表：
请根据表格中的信息，估计这4万个数的平均数约为( )
A．92.16B．85.23
C．84.73D．77.97
答案 B
解析 这3000个数的平均数为：
eq \f(78.1×800＋85×1300＋91.9×900,3000)＝85.23，
于是用样本的平均数去估计总体的平均数，则这4万个数的平均数约为85.23.
题型四 获取数据的途径
例4 简单设计一份问卷，调查学生对高一各学科的态度．
[解] 请按自己的感受把下面这些学科的序号填在空格里．
①语文 ②数学 ③外语 ④物理 ⑤化学 ⑥生物 ⑦历史 ⑧地理 ⑨政治 ⑩体育 ⑪艺术(音乐、美术) ⑫技术
调查问卷中问题设计的要求
(1)问卷中的问题必须设计详细，以便被调查者顺利回答．
(2)把比较容易的，不涉及个人的问题排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面．
为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是三名同学设计的方案：
学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；
学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；
学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．
请问：这三位同学设计的方案中哪一个较合理？你有何建议？
解 学生甲的方法得到的样本只能够反映上网居民的用水情况，它是一种方便样本，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量．
学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，就可以准确地得到平均每户居民的月用水量．
学生丙的方法是一种随机抽样的方法，所在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样方法获得数据，用学生丙的方法，既节省人力、物力，又可以得到比较精确的结果．
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样B．抽签法
C．随机数法D．分层随机抽样
答案 D
解析 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样，且样本量的分配方式为比例分配．
2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，则( )
A．P1>P2B．P1C．P1＝P2D．无法确定
答案 C
解析 简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为eq \f(n,N).
3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人
答案 B
解析 先求抽样比eq \f(n,N)＝eq \f(90,3600＋5400＋1800)＝eq \f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，则甲校抽取3600×eq \f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq \f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq \f(1,120)＝15(人)，故选B.
4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案 60
解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为eq \f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.
5．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽多少？
解 用比例分配的分层随机抽样方法抽样．
∵eq \f(20,500)＝eq \f(1,25)，∴200×eq \f(1,25)＝8,125×eq \f(1,25)＝5,50×eq \f(1,25)＝2.
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2435
4567
3926
1072
数据x
708090个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
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