2023-2024学年广东省佛山市南海区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市南海区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为(    )

A.
B.
C.
D.

3.设，，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则

4.设集合，，，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5.设：，：，那么是的条件(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

6.已知不等式的解集为，则不等式的解集为(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

7.为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8.关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知集合，，，则集合可以表示为(    )

A.  B.
C.  D.

10.下列说法中正确的是(    )

A. “，都是偶数”是“是偶数”的充要条件
B. 两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件
C. “”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件

11.下列结论正确的是(    )

A. 若，则的最小值为
B. 若，，则
C. 若，，且，则的最大值为
D. 若，则的最大值为

12.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有(    )

A.
B.
C. 的最小值为
D. 不等式的解集为或

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.集合，，若，，则 ______ ．

14.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为______ ．

15.已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是            ．

16.设，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知集合，，
求；；   
若，求的取值范围．

18.本小题分

某工厂拟造一座平面图如图为长方形且面积为的三级污水处理池由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过，且高度一定如果四周池壁的造价为元，中间两道隔墙的造价为元，池底造价为元，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？池壁的厚度忽略不计

19.本小题分

已知集合，集合．

当时，求，；

设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．

20.本小题分
已知，，．
求的最小值；
证明：．

21.本小题分
已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为，求该二次函数的解析式．
在条件下，当时，求一元二次不等式的解集．

22.本小题分
新学期开学季，成都某学校附近又新开了一家奶茶店，其中有一种名为“奶茶三兄弟”的饮品很受学生欢迎，老板费尽心思想在这种饮品上赚得第一桶金，其销售的价格在一学期不同周次有所变化设开始时每杯定价元，从第一次周开始每周涨价元，周后开始保持元的价格平稳销售，周后，学生的新鲜感已过，平均每周削价元，直到周周末，老板为了让学生安心准备期末考试复习而不挂念“三兄弟”，该饮品暂停销售．
试求该饮品每杯价格元与周次，，之间的函数关系式；
若此饮品每杯成本价元与周次之间的关系是，，，试问该饮品第几周每杯的销售利润最大，并求出最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
可得，，，所以D正确．
故选：．
直接利用集合的运算法则求解即可．
本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．

2.【答案】 

【解析】解：由题知图中阴影部分为，
，
．
故选：．
根据韦恩图求出即可．
本题考查韦恩图与集合的运算，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：对于，若，，取，，，，可得，故A不正确；
对于，若，则，故B不正确；
对于，若，，取，，，，则，故C不正确；
对于，若，则，所以，故D正确．
故选：．
由不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
若，则，
故．
故选：．
由已知结合集合补集及并集运算及集合的包含关系可求．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：由得，即，
于是得，所对集合分别为，
因为，
所以是的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义判定．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：因为的解集为
根据一元二次不等式求解集的方法可得且
解得，．
则不等式变为解得或
故选：．
由不等式的解集为得到、的值，代入到不等式中确定出不等式，求出解集即可．
考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，

7.【答案】 

【解析】解：设，则，
矩形的面积
．
当且仅当，即时上式取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为．
故选：．
设，则，可得矩形的面积的表达式，再由基本不等式求最值．
本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

8.【答案】 

【解析】解：恰有个整数解，即恰有个整数解，
所以，
解得或，
当时，解得，
又，故个整数解为和，
则，
解得；
当时，解得，
又，故个整数解为，，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
故选：．
由题意可知恰有个整数解，可得或，再分和两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，故选项A正确：
，
，故选项B正确；
，
或，
或，故选项C错误，
，
，故选项D正确．
故选：．
由已知结合集合的交集，并集及补集运算检验各选项即可判断．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：若“，都是偶数”“是偶数”，反之不成立，例如，可以都是奇数，因此“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，不正确；
B.“两个三角形全等”“两个三角形的面积相等”，反之不成立，因此两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件，正确；
C.关于的方程有实数解，可得：，解得“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，正确；
D.“”“”，反之不成立，因此是“”的必要不充分条件．
故选：．
A.若“，都是偶数”“是偶数”，反之不成立，即可判断出正误；
B.“两个三角形全等”“两个三角形的面积相等”，反之不成立，即可判断出正误；
C.关于的方程有实数解，可得：，解得范围，即可判断出正误；
D.“”“”，反之不成立，即可判断出正误．
本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、三角形全等性质、实数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：对于选项A：因为，所以，当且仅当时取等号，
即的最小值为，故选项A正确；
对于选项B：，，则，
当且仅当时取等号，故选项B正确；
对于选项C：，且，则
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选项C错误；
对于选项D：因为，所以，
则，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为，故选项D错误．
故选：．
根据基本不等式依次求解判断各选项即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为，
，即，且，故选项A错误；
，故选项B正确；
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
可化为：，即，
则解集为或，故选项D错误．
故选：．
由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得，的关系及的正负，即可检验；
结合基本不等式即可检验选项C；
结合二次不等式的求法即可检验选项D．
本题主要考查了二次不等式与二次方程关系的转化及二次不等式的求解，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．

13.【答案】 

【解析】解：；
若，，
则；
；
，；
，
故答案为：．
先求出，根据交集、并集的定义即可得出，．
本题主要考查并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：命题“，使”为假命题，
故“，使”为真命题，
所以，解得．
故答案为：．
由题意得“，使”为真命题，然后结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，属于基础题．

15.【答案】或 

【解析】【分析】

本题考查了方程根的分布、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知可得：该方程有两个正根的充要条件是，且，求解即可．

【解答】
解：关于的方程，即，
则该方程有两个正根的充要条件是，且，
解得：或，
因此该方程有两个正根的充要条件是：或．
故答案为：或，

16.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
利用已知化，再利用基本不等式即可解答．

【解答】
解：，，，
则
；
由基本不等式有：；
当且仅当时，
即，时，即或时等号成立，
故的最小值为；
故答案为：．

17.【答案】解：，，
，
或，
；
，，
若，
的范围是． 

【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
由，，求出与的并集，求出补集与的交集即可；
由与的交集为空集，确定出的范围即可．

18.【答案】解：设污水池总造价为元，污水池长为，
则宽为，水池外圈周壁长为，中间隔墙长，池底面积，
，
当且仅当，即时，，
即当污水池长为，宽为时，总造价最低，最低为元． 

【解析】设污水池总造价为元，污水池长为，则，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．

19.【答案】解：时，，集合．
，．
时，，．
“”是“”的必要不充分条件，
，，解得．
实数的取值范围是． 

【解析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
时，，集合利用集合运算性质即可得出．
时，，根据“”是“”的必要不充分条件，可得，即可得出．

20.【答案】解：，，，
，
，
即的最小值为，当且仅当，即，取取等号．
证明：：，，
要证，即要证，
，
，
，当且仅当时，等号成立． 

【解析】通过的代换，利用基本不等式求解表达式的最小值即可．
利用分析法转化证明即可．
本题考查不等式的证明，基本不等式求解表达式的最小值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

21.【答案】解：根据题意，二次函数的图象与轴交于点，则，
则有，
又由该函数与轴的两个交点的横坐标，的平方和为，即，则有1，
故1，即，
故；
根据题意，由的结论，，，则一元二次不等式即，变形可得，
当时，，此时不等式的解集为或；
当时，若，即，此时不等式的解集为，
若，即，此时不等式的解集为；
若，即，此时不等式的解集为；
综合可得：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，此时不等式的解集为，
当时，不等式的解集为． 

【解析】根据题意，由二次函数与轴的交点分析可得的值，由根与系数的关系可得的值，即可得答案；
根据题意，将不等式变形为，按的值分情况讨论，求出不等式的解集，综合可得答案．
本题考查函数解析式的求法，涉及二次函数的性质以及应用，属于基础题．

22.【答案】解：由题意得当且时，；
当且时，；
当且时，，
综上所述，；
由得，
，，，
设利润为，则，
当且时，，，
当时，；
当且时，，
当或时，；
当且时，
当时，，
，
该饮品第周每杯的销售利润最大，且最大值元． 

【解析】本题考查分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
根据题意，分类讨论，即可得出答案；
由得，设利润为，则，分类讨论，利用二次函数的性质，即可得出答案．