2023-2024学年广东省广大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，M={1,2}，N={2,5}，如图所示，则阴影部分表示的集合是( )
A. {3,4,5}
B. {1,3,4}
C. {1,2,5}
D. {3,4}
2.命题“∀x>0，xx−1>0”的否定是( )
A. ∃x0≥0，x0x0−1≤0B. ∃x0>0，x0x0−1≤0
C. ∀x>0，xx−1≤0D. ∀x<0，0≤x≤1
3.已知集合A={x|x2−2x−3=0}，B={1,a}，若A∩B={3}，则A∪B=( )
A. {1,3}B. {−1,3}C. {−1,1,3}D. {−3,−1,3}
4.下列全称量词命题为真命题的是( )
A. 所有的质数都是奇数
B. ∀x∈R，x2+1≥1
C. 对每一个无理数x，x2也是无理数
D. 所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
5.已知0A. 2B. 4C. 5D. 6
6.已知不等式(x+ay)(1x+1y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 9
7.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，以下命题正确的个数为( )
(1)方程有二正根的充要条件是−ba>0ca>0；
(2)方程有二异号实根的充要条件是ca<0；
(3)方程两根均大于1的充要条件是Δ≥0−ba>2ca>1．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8.若正实数x，y满足x+y+xy=8，则下列结论不正确的是( )
A. x+y的最小值为4B. xy的最大值为4
C. x+2y的最小值为6 2−3D. x2+y2的最大值为8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题的是( )
A. ∀x∈R，都有x2−x≥x−1B. ∃x∈(1,+∞)，使得x+4x−1=6
C. 任意非实数a，b，都有ba+ab≥2D. 函数y=x2+10 x2+9的最小值为2
10.已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s是q成立的不充分条件，则下列说法不正确的是( )
A. p是r成立的充要条件B. s是r成立的必要不充分条件
C. p是s成立的充分不必要条件D. q是s成立的必要不充分条件
11.已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
A. 若bc2b3且ab<0，则1a>1b
C. 若a>b>c>0，则ab>a+cb+cD. 若c>b>a>0，则ac−a>bc−b
12.已知b>0，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式ax3+3x2−abx−3b≤0恒成立，则( )
A. a<0B. a2b=3
C. a2+4b的最小值为12D. a2+ab+3a+b的最小值为6−6 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设集合A={x|ax+1=0,x∈R}只有一个子集，则满足要求的实数a=______．
14.已知α：x<2m−1或x>−m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是______．
15.设x>0，y>0，2x+y=1，则(x+2)(2y+1)xy的最小值为______ ．
16.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为20，把三角形ABC沿AC向三角形ADC折叠，AB折过去后交DC于点P(如图所示)，则三角形ADP的面积的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集U={x|−6≤x≤5}，M={x|−3(1)求M∩(∁UN)；
(2)若C={x|a≤x≤2a−1}且C⊆(∁UM)，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
解下列不等式：
(1)x4+3x2−10<0；
(2)x2−2|x|−3>0．
19.(本小题12分)
已知集合A={x|−4≤x≤3}，B={x|m−1≤x<2m+1}
(1)若A⋂B=B，求实数m的取值范围；
(2)若不存在实数x，使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入16(x2−600)万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
21.(本小题12分)
已知x，y，z都是正数．
(Ⅰ)求证：x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0；
(Ⅱ)若xy2+yx2≥(m2−2m−2)(1x+1y)恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知关于x的不等式 ax+1≤x+1．
(Ⅰ)若a=−1，求该不等式的解集；
(Ⅱ)若a>0，求该不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由M={1,2}，N={2,5}，可得M∪N={1,2,5}，
由全集U={1,2,3,4,5}，可得∁U(M∪N)={3,4}，
根据venn图表示的集合意义，可得阴影部分表示的集合是{3,4}．
故选：D．
根据venn图表达集合的含义，得出阴影部分所对应的元素即可．
本题考查集合的并集，补集运算，考查venn图表示集合的含义，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为命题“∀x>0，xx−1>0”为全称命题，
所以其否定是“∃x0>0，x0x0−1≤0”.
故选：B．
根据全称命题的否定是特称命题求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由集合A={x|x2−2x−3=0}={−1,3}，
因为A∩B={3}，可得B={1,3}，
所以A∪B={−1,1,3}．
故选：C．
求得A={−1,3}，结合A∩B={3}，得到B={1,3}，根据集合并集的运算，即可求解．
本题考查集合的运算，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，质数中2不是奇数，A为假命题；
对于B，∀x∈R，都有x2≥0，则x2+1≥1，B选项为真命题；
对于C， 2为无理数，但( 2)2=2是有理数，C为假命题；
对于D，所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D为假命题．
故选：B．
根据题意，举出反例，可得ACD错误，证明B正确，即可得答案．
本题考查命题真假的判断，注意全称量词命题和存在量词命题的定义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为0所以y=2x 4−x2=2 x2(4−x2)≤2 (x2+4−x22)2=4，
当且仅当x2=4−x2时取等号，因为0故选：B．
利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为(x+ay)(1x+1y)=1+a+ayx+xy≥1+a+2 ayx⋅xy=1+a+2 a，
当且仅当xy=ayx且x>0，y>0时取等号，
所以1+a+2 a≥16，整理得( a+5)( a−3)≥0，解得a≥9，
故正实数a的最小值为9．
故选：D．
根据基本不等式即可求解最值，进而由1+a+2 a≥16即可求解．
本题考查了基本不等式的性质，考查函数恒成立问题以及转化思想，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：对于(1)，令x2−2x+2=0满足−ba=2>0,ca=2>0，但Δ=4−8=−4<0，方程无实数解，(1)错；
对于(2)，必要性：∵方程ax2+bx+c=0，有一正根和一负根，∴x1⋅x2=ca<0．
充分性：由ca<0可得ac<0，所以b2−4ac>0及x1⋅x2=ca<0，
∴方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，(2)对；
对于(3)，令x2−72x+32=0，两根为x1=12,x2=3，满足Δ≥0−ba>2ca>1，但不符合方程两根均大于1，(3)错．
故选：B．
对于(1)，举反例x2−2x+2=0，即可判断；对于(2)方程有二异号实根可推出x1⋅x2=ca<0，x1⋅x2=ca<0可推出方程有二异号实根，即可判断；对于(3)，举反例x2−72x+32=0，即可判断．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：对于A项，由基本不等式得，x+y=8−xy≥8−(x+y2)2，当且仅当x=y时取等号，
整理得(x+y)2+4(x+y)−32≥0，
解得x+y≥4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故A正确；
对于B项，由A项可知x+y≥4，所以xy=8−(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故B正确；
对于C项，由题可知(x+1)(y+1)=9，
故x+2y=(x+1)+2(y+1)−3≥2 2(x+1)(y+1)−3=6 2−3，
当且仅当(x+1)=2(y+1)=3 2时，等号成立，故C正确；
对于D项，x2+y2=(x+y)2−2xy=(8−xy)2−2xy=(xy−9)2−17，又0故选：D．
根据基本不等式及其变形逐项判断即可．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，x2−x≥x−1⇔(x−1)2≥0恒成立，故A正确；
对于B，当x=2时，x+4x−1=6，故B正确；
对于C，当a=−b时，ba+ab=−2，故不成立，故C错误；
对于D，令x2+10 x2+9=2，化简得x2=−8，显然无实数解，故D错误．
故选：AB．
利用作差法、基本不等式的使用条件和应用技巧，逐项判断即可．
本题考查基本不等式的适用条件及应用，以及作差法比较大小的方法，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：依题意得q⇒p，q⇔r，r⇒s，s⇏q，
由q⇒p，q⇔r得r⇒p，但p不一定能推出r，故A不正确；
由q⇔r，s⇏q得s⇏r，又r⇒s，所以s是r成立的必要不充分条件，故B正确；
因为p不一定能推出s，s不一定能推出p，所以C不正确；
因为q⇔r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇏q，所以q是s成立的充分不必要条件，故D不正确．
故选：ACD．
根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A，若bc20，可得b对于B，由a3>b3得a>b，结合ab<0，可知a>0>b，所以1a>0>1b，故B正确；
对于C，由a>b>c>0，得ac>bc，所以ac+ab>bc+ab，
结合1b(b+c)>0，两边同时乘以1b(b+c)，得ab>a+cb+c，故C正确；
对于D，因为a−b<0，c−a>0，c−b>0，
可得ac−a−bc−b=c(a−b)(c−a)(c−b)<0，即ac−a故选：ABC．
根据题意，利用不等式的基本性质逐一分析，即可得到本题的答案．
本题主要考查了利用不等式的基本性质比较实数的大小等知识，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为ax3+3x2−abx−3b≤0，即(ax+3)(x2−b)≤0恒成立，
又因为b>0，x>0，
所以当0 b时，x2−b>0，
因为对任意的x∈(0,+∞)，不等式ax3+3x2−abx−3b≤0恒成立，
所以当0 b时，ax+3≤0，
所以对于函数y=ax+3，必有a<0，单调递减，且零点为x= b，
所以a b+3=0，所以a2b=9，
所以A正确，B错误；
对于C，因为a b+3=0，所以a=−3 b，
所以a2+4b=9b+4b≥2 9b⋅4b=12，当且仅当9b=4b，即b=32时取等号，所以a2+4b的最小值为12，所以C正确；
对于D，a2+ab+3a+b=9b−3 b−9 b+b=(9b+b)−(3 b+9 b)=(9b+b)−3( b+3 b)=( b+3 b)2−3( b+3 b)−6，
令m= b+3 b，则m≥2 3，当且仅当b=3时，等号成立．
则a2+ab+3a+b=m2−3m−6(m≥2 3)，
由二次函数的性质可得y=m2−3m−6(m≥2 3)的最小值为(2 3)2−3×(2 3)−6=6−6 3，
即a2+ab+3a+b的最小值为6−6 3，此时b=3，a=− 3，所以D正确，
故选：ACD．
由已知可得(ax+3)(x2−b)≤0，由于b>0，所以可得当0 b时，ax+3≤0，从而可得a<0，a=−3 b，，然后代入各选项的式子中结合基本不等式和函数的性质分析判断．
此题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是由题意结合一次函数和二次函数的性质得a<0，a=−3 b，从而可结合基本不等式分析判断，考查数学转化思想，属于难题．
13.【答案】0
【解析】解：集合A={x|ax+1=0,x∈R}只有一个子集，
则A={x|ax+1=0,x∈R}=⌀，
所以方程ax+1=0无解，即a=0．
故答案为：0．
根据已知条件，推得A为⌀，即可求解．
本题主要考查子集的定义，属于基础题．
14.【答案】(13,+∞)
【解析】解：因为α是β的必要条件，所以β⇒α，即由x<2或x≥4⇒x<2m−1或x>−m；
①m>13时，2m−1>−m，此时α：x∈R，有β⇒α成立；
②m=13时，α：x∈R且x≠13，β不能推出α；
③m<13时，有2m−1≥2−m≤4，即m≥32，此时无解；
综上：m>13，
即实数m的取值范围是(13,+∞)．
故答案为：(13,+∞)．
将充分必要条件的判断问题转化为集合问题解决．
本题主要考查必要条件的定义，考查分类讨论思想，利用集合间的关系求参数范围是解题的关键，属于基础题．
15.【答案】19+4 15
【解析】解：根据题意，2x+y=1，4x+2y=2，代入题中的分式可得，
原式=(5x+2y)(2x+3y)xy=10x2+6y2+19xyxy=10xy+6yx+19，
而x>0，y>0，10xy+6yx≥2 10xy⋅6yx=4 15，
当且仅当10xy=6yx，即x=6− 157,y=2 15−57时取等号．
所以(x+2)(y+1)xy≥19+4 15，当x=6− 157,y=2 15−57时，(x+2)(2y+1)xy的最小值为19+4 15．
故答案为：19+4 15．
根据题意，将所求分式中的分子的常数项1和2换成关于x、y的式子，再利用基本不等式算出答案．
本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于中档题．
16.【答案】75−50 2
【解析】解：由题意可设翻折后B点的位置为B′，
因为矩形ABCD周长为20，设AB=x，
则BC=10−x，由翻折可知CB′=10−x，即有CB′=AD，
而∠B′PC=∠DPA，故Rt△CB′P≌Rt△ADP，∴B′P=DP，设DP=y，则PC=x−y，
在Rt△CB′P中，由勾股定理得：(10−x)2+y2=(x−y)2，
则y=10−50x，∵AB>BC，即x>10−x>0，∴5则S△ADP=12×AD⋅DP=12(10−x)(10−50x)=5×[15−(x+50x)],5∵x+50x≥2 x⋅50x=10 2，当且仅当x=5 2时取等号，
∴S△ADP≤75−50 2，即三角形ADP的面积的最大值为75−50 2．
故答案为：75−50 2．
根据题意设AB=x，DP=y，利用平面几何知识表示出y=10−50x，进而求得S△ADP=12×AD⋅DP=5×[15−(x+50x)],0本题主要考查三角形中的几何计算，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为U={x|−6≤x≤5}，N={x|0所以∁UN={x|−6≤x≤0或2≤x≤5}，
因为M={x|−3所以M∩(∁UN)={x|−3(2)因为U={x|−6≤x≤5}，M={x|−3所以∁UM={x|−6≤x≤−3或2当C=⌀时，C⊆(∁UM)成立，此时a>2a−1，解得a<1，
当C≠⌀时，因为C⊆(∁UM)，
所以a≤2a−12a−1≤−3a≥−6或a≤2a−12a−1≤5a>2，解得2综上，a的取值范围为(−∞,1)∪(2,3]．
【解析】(1)先求出集合∁UN，再求M∩(∁UN)即可．
(2)先求出∁UM，然后由C⊆(∁UM)，对C=⌀和C≠⌀两种情况讨论求解即可．
本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)原不等式x4+3x2−10<0化为(x2)2+3x2−10<0，
令t=x2(t≥0)，则不等式可化为t2+3t−10<0，解得−5又因为t≥0，所以0≤t<2，即0≤x2<2，解得− 2所以原不等式的解集为{x|− 2(2)原不等式x2−2|x|−3>0化为|x|2−2|x|−3>0，
令u=|x|(u≥0)，则不等式可化为u2−2u−3>0，解得u>3或u<−1(舍去)，
所以|x|>3，所以x>3或x<−3，故原不等式的解集为{x|x<−3或x>3}．
【解析】(1)设t=x2(t≥0)，不等式化为t2+3t−10<0，解不等式即可．
(2)设u=|x|(u≥0)，不等式化为u2−2u−3>0，解不等式即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)A⋂B=B，
则B⊆A，
若B=⌀，则m−1≥2m+1，解得m≤−2；
若B≠⌀，根据B⊆A可得m−1<2m+12m+1≤3m−1≥−4，解得−2综上所述，m的取值范围为{m|m≤1}；
(2)若不存在实数x，使x∈A，x∈B同时成立，即A∩B=⌀，有两种情况：
若B=⌀，则m−1≥2m+1，解得m≤−2，
若B≠⌀且A∩B=⌀时，则有m−1>3m−1<2m+1解得m>4，或2m+1≤−4m−1<2m+1，解得m∈⌀，
综上所述，m的取值范围为{m|m≤−2或m>4}．
【解析】(1)先得出B⊆A，然后按照B是否为空集分类讨论；
(2)根据题意，可将问题转化成A∩B=⌀的讨论．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设该商品每件定价为t元，
若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，可得销售量为8−0.2(t−25)=13−0.2t，
由题意可得t(13−0.2)t≥25×8，
整理得t2−65t+1000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知当x>25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2−600)+15x有解，
等价于x>25时，a≥150x+16x+15有解，由于150x+16x≥2 150x⋅16x=10，
当且仅当150x=16x，即x=30时等号成立，所以a≥10.2，
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
【解析】(1)设每件定价为t元，由题意得t(13−0.2)t≥25×8，解不等式可得所求结论；
(2)由题意可得当x>25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2−600)+15x有解，运用参数分离和基本不等式可得所求结论．
本题考查二次不等式的解法和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(Ⅰ)要证x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0，左右两边同乘以xyz可知即证x2−xy+y2−yz+z2−xz≥0，
即证x2+y2+z2≥xy+yz+xz．
∵x，y，z都是正数，
∴由基本不等式可知x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，x2+z2≥2xz，当且仅当x=y=z时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x2+y2+z2≥xy+yz+xz，即原不等式得证．
(Ⅱ)xy2+yx2≥(m2−2m−2)(1x+1y)⇔m2−2m−2≤x3+y3xy(x+y)=x2−xy+y2xy，
∵x2−xy+y2xy=xy+yx−1≥2 yx⋅xy−1=1，当且仅当x=y时等号成立，
∴m2−2m−2≤1，即m2−2m−3≤0，解得−1≤m≤3，
∴实数m的取值范围为[−1,3]．
【解析】(I)根据已知条件，要证原式，即证x2−xy+y2−yz+z2−xz≥0，再结合基本不等式，即可求证．
(II)根据已知条件，结合分离常数法，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由 −x+1≤x+1，
得−x+1≥0−x+1≤(x+1)2，解得：0≤x≤1或x≤−3，
所以该不等式的解集为：{x|0≤x≤1或x≤−3}；
(Ⅱ)由 ax+1≤x+1，得ax+1≥0①ax+1≤(x+1)2②，
解①得：x≥−1a；
解②得：x2+(2−a)x≥0，
当a=2时，x∈R；
当a>2时，x≥a−2或x≤0；
当0所以原不等式的解集为：当=2时，{x|x≥−12}；
当a>2时，{x|x≥a−2或−1a≤x≤0}；
当0【解析】(Ⅰ)平方，把无理不等式转化为一元二次不等式；(Ⅱ)方法同(Ⅰ)，分类讨论，比较0与a−2的大小，得出不等式的解集．
本题考查无理不等式的解法，属中档题．