中考数学一轮复习常考题型突破练习专题28 圆（2份打包，原卷版+解析版）

专题28 圆

【考查题型】

【知识要点】

知识点一 圆的有关概念

圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形

成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

           2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

考查题型一 圆的周长和面积问题

典例1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ）

A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍

变式1-1．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．

变式-2．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是___．

变式1-3．（2021·广西百色·统考中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．

某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：

第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；

第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；

第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；

……

请问：

（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？

（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？

（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

变式1-4．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有角的三角板如图所示，其中，，．将此三角板在平面内绕顶点旋转一周．

（1）画出边旋转一周所形成的图形；

（2）求出该图形的面积．

知识点二 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。

考查题型二 利用垂径定理求解

典例2．（2022·安徽·统考中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ）

A． B．4 C． D．5

变式2-1（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（    ）

A．1 B． C．2 D．4

变式2-2．（2021·四川凉山·统考中考真题）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（    ）

A． B． C． D．

变式2-3．（2021·四川自贡·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（    ）

A．9.6 B． C． D．19

变式2-4．（2022·青海·统考中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．

变式2-5．（2022·上海·统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）

变式2-6．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．

变式2-7．（2021·广西河池·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．

考查题型三 利用垂径定理求解实际问题

典例3．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（    ）

A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm

变式3-1．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 _________cm．

变式3-2．（2022·四川自贡·统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．

变式3-3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

变式3-4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，）

根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．

变式3-5．（2021·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）

答：圆形木材的直径___________寸；

变式3-6．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．

(1)直接判断与的数量关系；

(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．

知识点三 与圆有关的角

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。

            推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考查题型四 弧、弦、圆心角之间的关系

典例4．（2021·四川广安·统考中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（    ）米.

A． B．

C． D．

变式4-1．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，点在上，，则（    ）

A． B． C． D．

变式4-2．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）

A． B．

C． D．

变式4-3．（2020·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（    ）

A． B． C． D．

变式4-4．（2020·四川泸州·中考真题）如图，中，，．则的度数为（    ）

A．100° B．90° C．80° D．70°

变式4-5．（2020·贵州贵阳·统考中考真题）如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．

变式4-6．（2022·江苏盐城·统考中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．

变式4-7．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：

(1)AC＝BD；

(2)△ABE∽△DCE．

变式4-8．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：

（1）AD∥BC

（2）四边形BCDE为菱形．

考查题型五 圆周角定理

典例5．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（    ）

A．70° B．60° C．50° D．40°

变式5-1．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．130°

变式5-2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．28° B．30° C．36° D．56°

变式5-3．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

变式5-4．（2022·陕西·统考中考真题）如图，内接于⊙，连接，则（    ）

A． B． C． D．

变式5-5．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．

变式5-6．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．

变式5-7．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．

考查题型六 圆周角定理的推论

典例6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

变式6-1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（    ）

A．60° B．62° C．72° D．73°

变式6-2．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（    ）

A．50° B．45° C．40° D．35°

变式6-3．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ）

A． B．8 C． D．4

变式6-4．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．65°

变式6-5．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ）

A．90° B．100° C．110° D．120°

变式6-6．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（  ）

A． B． C． D．

变式6-7．（2022·四川资阳·中考真题）如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度．

变式6-8．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．

变式6-9．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．

(1)试判断的形状，并给出证明；

(2)若，，求的长度．

变式6-10．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点，在点，，所确定的上（依据2）

点，，，四点在同一个圆上

(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：__________；依据2：__________．

(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；

②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

知识点四 圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

     例：∠BCD+∠DAB=180°，∠BCD=∠DAE

考查题型七 已知圆内接四边形求角度

典例7．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）

A．138° B．121° C．118° D．112°

变式7-1．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

变式7-2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

变式7-3．（2021·广西贵港·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（    ）

A． B．2 C． D．1

变式7-4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．

变式7-5．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．

变式7-6．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是________（结果保留）

变式7-7．（2021·山东枣庄·统考中考真题）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的切线与的延长线交于点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当，时，求线段的长．

变式7-8（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B作于D，延长交的外接圆于点E，过点A作于F，的延长线交于点G．

（1）判断是否平分，并说明理由；

（2）求证：①；②．