中考数学一轮复习常考题型突破练习专题05 二次根式（2份打包，原卷版+解析版）

专题05 二次根式

【热考题型】

【知识要点】

知识点一 二次根式相关概念和性质

二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。

2）二次根式中a是一个非负数。

二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。

考查题型一 二次根式有意义的条件

题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3

【详解】解：由题意得．解得x≥3，故选：A．

题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（   ）

A． B． C． D．≤-1

【详解】解：由题意可知：，∴，故选：B．

题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选： C．

题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

【详解】解：由题意知，，解得，∴解集在数轴上表示如图，

故选B．

题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ）

A．且 B．且 C． D．且

【详解】解：依题意，∴且故选B

题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是______．

【详解】解：∵由二次根式的定义得，解得：，

∴，即：，

∴.

二次根式的性质：1）   

 2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

【扩展】与的区别于联系

区别：

联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，

知识点二 二次根式的估值

一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如；

2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9；

3）对这两个完全平方数开方，如，；

4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。

考查题型二 二次根式的性质与化简

题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：A.，故错误；B.，故正确；C.，故错误；D.，故错误；故选：B．

题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ）

A． B．

C．  D．

【详解】解：，故选：D．

题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a

【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1，∴a>0， a-1<0，

∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a=2．故选∶B．

题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【详解】解：， 是完美方根数对；故①正确；

不是完美方根数对；故②不正确；

若是完美方根数对，则即解得或

是正整数，则 故③正确；

若是完美方根数对，则,即故④正确故选C

题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．

【详解】解：由数轴可得：，

则

∴

=

=

=

=2．

题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

【详解】解：∵∴

∵为正整数∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8

∵为整数∴为4或7或8

题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．

【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设

∴解得

故答案为：

知识点三 二次根式的运算

二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

即：

【注意】

1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：

3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。

4）逆用公式：

化简二次根式的步骤（易错点）：

1）把被开方数分解因式(或因数) ；

2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。

【注意】1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。

2）逆用公式： 。

考查题型三 二次根式的乘除

题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：=______．

【详解】解：=；故答案为．

题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________．

【详解】解：，

题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算的结果是________．

【详解】解：原式＝＝＝3．

题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：．

【详解】

最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例：、、 不是 二次根式（易错）。

分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。

【分母有理化方法】

1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：

2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。

即：；

练：尝试写出的有理化因式_______________

考查题型四 最简二次根式

题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（    ）

A．2 B．3 C．2 D．2

【详解】解：＝2，故选：A．

题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：

A、∵是无理数，故是无理数

B、∵是无理数，故是无理数

C、为有理数

D、∵是无理数，故是无理数

故选：C

题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：原式，，故选：D．

题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．

故选：D．

题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）=_____．

【详解】解：．

同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。

二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。

【口诀】一化、二找、三合并。

二次根式比较大小：1）若，则有；

2）若，则有；

3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。

二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。

【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。

考查题型五 二次根式的加减

题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与最接近的整数是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【详解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜＜4，∴5.5＜2+＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．

题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；

B、原计算错误，该选项不符合题意；

C、正确，该选项符合题意；

D、原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．

题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．

【详解】解：由题意可得：

同理：

故答案为：

题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．

【详解】解：∵

△=9-4=5＞0，

∴，，

∴=，

故答案为：20；

题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是___________．

【详解】解：= =，故答案为：．

考查题型六 二次根式的混合运算

题型6．（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（    ）

A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间

【详解】 ，

∵，∴，∴，故选：B．

题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B．1 C． D．3

【详解】解： 故选：B．

题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计的值应在（    ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【详解】解：原式＝，

，，故选B．

题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算的结果，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：8+|−2|×cos45°＝22+2×22＝2+＝3．故选：B

题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．

【详解】解：∵ ，

∴，

∵ 的整数部分为a，小数部分为b，

∴，．

∴，

故答案为：2．

题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：__________．

【详解】解：，

题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：＝_____．

【详解】解： =-1

题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．

【详解】解： ，，，

，

，

…，

故答案为：5050

题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:

(1)计算：；

(2)按要求填空：

小王计算的过程如下：

解：                                   

小王计算的第一步是         (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第       步出现错误.直接写出正确的计算结果是          .

【答案】(1)

（1）解：原式；

（2）解：由题意可知：

故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为.

故答案为：因式分解，第三步和第五步，