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2024河南省实验中学高二上学期10月月考试题数学含答案
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这是一份2024河南省实验中学高二上学期10月月考试题数学含答案,共8页。试卷主要包含了 在下列四个命题中,正确的是, 直线的倾斜角的取值范围是, 下列说法正确的是, 已知直线,下列命题中正确的是等内容,欢迎下载使用。
河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考高二数学 时间:120分钟 满分:150分 命题人:郭远明 审题人:贾玉明一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.1. 在下列四个命题中,正确的是( )A. 若直线的倾斜角越大,则直线斜率越大B. 过点的直线方程都可以表示为:C. 经过两个不同的点,的直线方程都可以表示为:D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为2.如图,在空间四边形中,点在上,满足,点为中点,则( )A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.4.正四面体的棱长为2,是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),为正四面体表面上的动点,当弦最长时,的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.45. 冰糖葫芦是中国传统小吃,起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示,若将山楂看成是大小相同的圆,竹签看成一条线段,如图2所示,且山楂的半径(图2中圆的半径)为1,竹签所在直线方程为,则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为( )A. B. C. D. 6.已知直线恒过定点,则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为 A. B. C. D.7.如图,已知,,从点射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程长为 A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为4,是棱上的一条线段,且,点是棱的中点,点是棱上的动点,则下面四个结论中正确的个数是 ①与一定不垂直 ②二面角的正弦值是 ③的面积是 ④点到平面的距离是常量A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9. 下列说法正确的是( )A. 若向量共面,则它们所在的直线共面B. 若是四面体的底面的重心,则C. 若,则四点共面D. 若向量,则称为在基底下的坐标,已知在单位正交基底 下的坐标为,则在基底下的坐标为10. 已知直线,下列命题中正确的是( )A. 若,则 B. 若,则或C. 当时,是直线的方向向量 D. 原点到直线的最大距离为11.已知菱形中,,与相交于点.将沿折起,使顶点至点,在折起的过程中,下列结论正确的是 A. B.存在一个位置,使为等边三角形C.与不可能垂直 D.直线与平面所成的角的最大值为12.在棱长为1的正方体中,点满足,,,,,则以下说法正确的是 A.当时,平面 B.当时,存在唯一点使得与直线的夹角为 C.当时,的最小值为 D.当点落在以为球心,为半径的球面上时,的最小值为三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.经过点作直线,若直线与连接与两点的线段总有公共点,则直线的斜率的取值范围为________.14. 如图在一个的二面角的棱上有两点、,线段、分别在这个二面角的两个半平面内,且均与棱垂直,若,,,则___________.15.如图,在四棱锥的平面展开图中,四边形是边长为2的正方形,是以为斜边的等腰直角三角形,,则四棱锥外接球的球心到面的距离为 ___________. 16.函数 的最小值为 ___________. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知的顶点,边上的高所在的直线方程为,边上中线所在的直线方程为.(1)求点的坐标; (2)求点到直线的距离.18. (本小题满分12分)如图,在平行六面体中,,,,点为线段中点.(1)求; (2)求直线与所成角的余弦值. 19.(本小题满分12分)已知,,由确定两个点,.(1)写出直线的方程(答案含t);(2)在内作内接正方形,顶点,在边上,顶点在边上.若,当正方形的面积最大时,求,的值. 20.(本小题满分12分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.①与直线垂直;②过点;③与直线平行.问题:已知直线过点,且____.(1)求直线的一般式方程;(2)已知,为坐标原点,在直线上求点坐标,使得最大. 21.(本小题满分12分)如图,某种风筝的骨架模型是四棱锥,四边形是等腰梯形,,,平面,,,,在上.(1)为保证风筝飞行稳定,需要在处引一尼绳,使得,求证:直线平面;(2)实验表明,当时,风筝表现最好,求此时直线与平面所成角的正弦值. 22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,PA=PD=,AB=1,AD=2,PD⊥AB.(1)证明:平面PCD⊥平面PAB;(2)若PB=,试在棱PD上确定一点E,使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为.
河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考高二数学参考答案一、单项选择题:1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.C二、多项选择题:9.BD 10.AD 11.ABD 12..三、填空题:13. 或 14.3 15. .16. 四、解答题:17. 解(1)设,则,∴,解得,∴;(2)∵,且直线的斜率为,∴直线的斜率为,∴直线的方程为,即,所以点到直线的距离为.18. 解:(1)因为在平行六面体中,点在线段上,且满足.设,,,这三个向量不共面,构成空间的一个基底.所以.,,.(2)由(1)知,,,,,直线与所成角的余弦值为.19.解(1)由题意知当直线斜率存在时,,当时,直线的方程为,当时,直线的方程为.直线的方程为.(2)由和四边形为正方形可知,,,,因为点在直线上,所以,所以,而正方形的面积最大,即最大,所以当时,,此时图中阴影部分的面积最大.20.解:(1)根据题意,选择①与直线垂直,则直线的斜率,解得,又其过点,则直线的方程为:,整理得:;选择②过点,又直线过点则直线的斜率,则直线的方程为:,整理得:;选择③与直线平行,则直线的斜率,又其过点,则直线的方程为:,整理得:;综上所述,不论选择哪个条件,直线的方程均为:.(2)根据(1)中所求,可得直线的方程为:,又,设点关于直线的对称点为,则,且,解得,即;根据题意,作图如下:显然,但且仅当,,三点共线时取得等号;又直线的斜率,故其方程为:,即,联立,可得,即点的坐标为时,使得最大. 21.解:(1)证明:四边形是等腰梯形,,,,连接,,,平面,平面,平面.(2)解:平面,平面,,,,,,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系,,0,,,0,,,,,,2,,,0,,,设平面的法向量为,,令,,,,设与平面所成角为,.与平面所成角的正弦值为.22. (1)证明 因为PA=PD=,AD=2,所以PA2+PD2=AD2,所以PD⊥PA,又因为PD⊥AB,AB,PA⊂平面PAB,且AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB,又因为PD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAB.(2)解 因为PA=,AB=1,PB=,所以PA2+AB2=PB2,所以AB⊥PA,又因为PD⊥AB,PA,PD⊂平面PAD,且PD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,因为AD⊂平面PAD,所以AB⊥AD,所以四边形ABCD为矩形.以A为原点,,分别为x轴、y轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,1,1),所以=(1,2,0),=(0,1,1),=(0,1,-1),由PD⊥平面PAB,可得向量=(0,1,-1)是平面PAB的一个法向量.设=λ,0≤λ≤1,则E(0,2-λ,λ),所以=(0,2-λ,λ).设平面EAC的法向量为n=(x,y,z),则所以令y=-1,可得x=2,z=,所以n=,所以|cos〈,n〉|==,可得12λ2-8λ+1=0,解得λ=或λ=,即当点E满足=或=时,平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为.
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