2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高一（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高一（上）第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，则下列选项中说法不正确的是（ ）
A．∅⊆AB．﹣2∈AC．{0，2}⊆AD．A⊆{y|y＜3}
2．（4分）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）设p：实数a，b满足a＞1且b＞1，q：实数a，b满足，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（4分）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则的最小值为（ ）
A．0B．﹣1C．D．
5．（4分）已知a＞b，c＞d＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．ac＞bd
6．（4分）若对任意实数x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题4分，共16分）
（多选）7．（4分）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1}
B．∁UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4}
D．集合A的真子集个数为8
（多选）8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分不必要条件
B．命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”
C．若a＞b＞0，则a3﹣b3＞a2b﹣ab2
D．“m≤1”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有实根”的充要条件
（多选）9．（4分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，则以下选项正确的有（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．cx2+bx+a＜0的解集为
D．cx2+bx+a＜0的解集为或
（多选）10．（4分）已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝16，则（ ）
A．ab的最大值为8
B．2a+b的最小值为8
C．a+b的最小值为6﹣3
D．的最小值为
三、填空题（每题4分，共16分）
11．（4分）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为 ．
12．（4分）已知命题“存在x∈R，ax2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
13．（4分）若集合A＝{2}，B＝{x|mx﹣1＝0，m∈R}，且A∪B＝A，则m＝ ．
14．（4分）已知关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论：
①x1+x2+2＝0；
②﹣3＜x1＜x2＜1；
③|x1﹣x2|＞4；
④x1x2+3＜0．
正确的有 ．（填上所有正确的序号）
四、解答题
15．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜1}．
（1）若，求A∩B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
16．（10分）已知正数a，b满足a+4b＝4．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
17．（10分）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm．设直角梯形的高为xcm．
（1）当x＝20时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
18．（10分）已知全集U＝R，非空集合，．
（Ⅰ）当时，求（∁uB）∩A；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）设f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2．
（1）若不等式f（x）≥﹣2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜a﹣1（a∈R）．
20．（12分）已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m，n∈Z}．
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．【分析】先解集合A，再判断即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，
所以A说法正确，因为A＝{0，2}，所以C，D说法正确，B说法错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
2．【分析】分式不等式转化为二次不等式求解即可．
【解答】解：由可得（4﹣x）（2x+3）≥0（2x+3≠0），
即（x﹣4）（2x+3）≤0（2x+3≠0），
解得，
即不等式的解集为．
故选：D．
【点评】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
3．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当a＞1且b＞1时，ab＞1，a+b＞2成立，即充分性成立，
反之当a＝4，b＝1时，满足足但a＞1且b＞1不成立，即必要性不成立，
即p是q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
4．【分析】先得到x+2＞0，＝x+，再利用配凑法和基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵负实数x，y满足x+y＝﹣2，
∴y＝﹣x﹣2＜0，∴x＞﹣2，∴x+2＞0，
∴＝x+＝x+2+﹣2≥2﹣2＝0，
当且仅当x+2＝，即x＝﹣1时取等号，
∴＝x+2+﹣2≥0，
∴的最小值为0，
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
5．【分析】根据题意，利用特殊值法判断A、C、D，利用作差法判断B，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，取a＝1，b＝﹣2，显然满足a＞b，但，故A错误；
对于B，﹣＝＝＜0，则有＜，故B正确；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，此时，故C错误；
对于D，取a＝﹣1，b＝﹣2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但此时ac＝bd，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质以及证明，注意作差法的应用，属于基础题．
6．【分析】不等式x+≤a（x+y）分离参数，再利用换元法，构造函数，利用基本不等式确定函数的最大值，从而可求实数a的最小值．
【解答】解：对任意实数x＞0，y＞0，不等式x+≤a（x+y）可化为a≥，
∴a≥，
令t＝1+（t＞1），∴a≥，
令u＝＝≤＝＝，
函数u＝取得最大值为，
∴a≥，
∴实数a的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查恒成立问题，涉及到两个变量，一般都是把它变成一个变量去考虑的，属于中档题．
二、多选题（每题4分，共16分）
7．【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
∁UB＝{2，4}，故B错误，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合的交集，补集，并集的定义是解决本题的关键．
8．【分析】对选项A，根据充分不必要条件的概念即可判断A错误，对选项B，根据存在命题否定的概念即可判断B正确，对选项C，利用作差法即可判断C正确，对选项D，根据Δ＝4﹣4m≥0得到m≤1，即可判断D正确．
【解答】解：对选项A，若a＝1，b＝﹣2，满足a＞b，不满足|a|＞|b|，不满足充分性，
若a＝﹣3，b＝2，满足|a|＞|b|，不满足a＞b，不满足必要性，故A错误；
对选项B，命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9“，故B正确；
对选项C，a3﹣b3﹣a2b+ab2＝（a3﹣a2b）﹣（b3﹣ab2）＝a2（a﹣b）﹣b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2+b2），
因为a＞b＞0，所以（a﹣b）（a2+b2）＞0，所以a3﹣b3＞a2b﹣ab2，故C正确；
对选项D，方程x2﹣2x+m＝0有实根，即Δ＝4﹣4m≥0，解得m≤1，
所以m≤1是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有实根”的充要条件，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查充分条件和必要条件的定义，存在量词命题的否定，一元二次方程有实数根的充要条件，是基础题．
9．【分析】由题可得m，n是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，利用韦达定理表示出b，c，即可求解不等式．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，
所以m，n是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，故A正确；
则，即b＝﹣（m+n）a，c＝mna，
因为m＞0，则n＞0，所以c＝mna＜0，故错误；
不等式cx2+bx+a＜0化为mnax2﹣（m+n）ax+a＜0，
即mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，
因为0＜m＜n，所以，则不等式的解集为或，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解与二次方程根的关系以及一元二次不等式的解法，属于中档题．
10．【分析】对已知条件进行变形，然后结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为a，b为正实数，且16＝ab+2a+b≥ab+2，当且仅当2a＝b时取等号，
解得0＜ab≤8，即ab的最大值为8，A正确；
由16＝ab+2a+b得b＝＝，
所以2a+b＝2a+＝2（a+1）+﹣4﹣4＝8，
当且仅当2a+2＝，即a＝2时取等号，B正确；
a+b＝a+＝a+1+﹣3，当且仅当a+1＝即a＝3时取等号，C正确；
＝2＝，当且仅当a＝1＝b+2时取等号，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
三、填空题（每题4分，共16分）
11．【分析】图中阴影部分对应的集合为A∩（∁RB ），然后根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，
∴∁RB＝{x|x≥3}，
∴A∩（∁RB ）＝{3，4，5，6}．
故答案为：{3，4，5，6}．
【点评】本题主要考查韦恩图的应用，以及集合的基本运算，属于基础题．
12．【分析】根据已知条件，推得“∀x∈R，ax2﹣ax+1≥0”为真命题，再分类讨论，并结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：由特称命题的否定形式及真假可知：
“∃x∈R，ax2﹣ax+1＜0”为假则其否定形式“∀x∈R，ax2﹣ax+1≥0”为真命题，
显然当a＝0时符合题意，
当a≠0时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解得a∈（0，4]，
综上可得，a∈[0，4]．
故答案为：[0，4]．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
13．【分析】由并集定义得B⊆A，当m＝0和m≠0两种情况讨论，由此能求出所有符合条件的实数m的值．
【解答】解：集合A＝{2}，B＝{x|mx﹣1＝0，m∈R}，A∪B＝A，
∴B⊆A，
当m＝0时，B＝∅，成立；
当m≠0时，B＝{}，
由B⊆A，得＝2，
解得m＝．
综上，m＝0或．
故答案为：0或．
【点评】本题考查并集及其运算，集合的包含关系的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，是基础题．
14．【分析】首先根据题意得到x1，x2是方程ax2+2ax﹣3a+2＞0的根，且a＜0，利用韦达定理即可判断①③④正确，利用二次函数的性质即可判断②错误．
【解答】解：不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0可化为ax2+2ax﹣3a+2＞0，
因为关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），x1＜x2，
所以x1，x2是方程ax2+2ax﹣3a+2＝0的根，且a＜0，
所以x1+x2＝﹣2，．
对①，x1+x2+2＝﹣2+2＝0，命题①正确．
对②，设f（x）＝ax2+2ax﹣3a+2，且a＜0，对称轴为x＝﹣1，
因为f（﹣2）＝4a﹣4a﹣3a+2＝﹣3a+2＞0，f（﹣3）＝f（1）＝2＞0，
所以x2＞1，x1＜﹣3，命题②错误．
对③，|x1﹣x2|＝＝＝＞4，命题③正确．
对④，，命题④正确．
故选：①③④．
【点评】本题考查了方程与不等式和二次函数的性质应用问题，是基础题．
四、解答题
15．【分析】（1）时，可得出集合A，然后进行交集的运算即可；
（2）根据A∩B＝A即可得出A⊆B，然后讨论A是否为空集：A＝∅时，a﹣1≥2a+1；A≠∅时，，解出a的范围即可．
【解答】解：（1）时，，
∴A∩B＝{x|0＜x＜1}；
（2）∵A∩B＝A，
∴A⊆B，
①A＝∅时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2；
②A≠∅时，，解得a∈∅，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
16．【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；
【解答】解：（1）正数a，b满足a+4b＝4，
则a+4b＝4≥，解得ab≤1，当且仅当a＝2，b＝，等号成立，
故ab的最大值为1；
（2）正数a，b满足a+4b＝4，
则＝，
当且仅当，即a＝b＝时，等号成立，
故的最小值为．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
17．【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边EF＝1440÷20÷2＝36cm，再分别求出AD，DC，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1440cm2，直角梯形的高为20cm，
则梯形长的底边EF＝1440÷20÷2＝36cm，
∵海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，
∴AD＝20+2×2＝24cm，DC＝36×2+2×4＝80cm，
故海报面积为AD×DC＝1920cm2．
（2）∵直角梯形的高为xcm，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1440cm2，
∴，
∵海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，
∴海报宽AD＝x+4，海报长DC＝，
故SABCD＝AD•DC＝＝≥＝192+1472，
当且仅当，即x＝，
故当海报纸宽为cm，长为cm，可使用纸量最少．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
18．【分析】（Ⅰ）通过，求出集合B，求出集合A，然后求出集合B的补集，即可求（∁uB）∩A；
（Ⅱ）利用q是p的必要条件，说明A⊆B，列出a的关系式，然后求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|2＜x＜3}，
当时，，（2分）
∁UB＝，
∴（∁UB）∩A＝．（4分）
（Ⅱ）由若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）
由a2+2＞a，B＝{x|a＜x＜a2+2} （8分）
∴，解得a≤﹣1或1≤a≤2．（12分）
【点评】本题考查集合的基本运算，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．
19．【分析】（1）由已知可得，ax2+（1﹣a）x+a﹣2≥0对于一切实数x恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解
（2）由已知可得，ax2+（1﹣a）x﹣1＜0，结合二次不等式的求解可求．
【解答】解：（1）f（x）≥﹣2对于一切实数x恒成立等价于ax2+（1﹣a）x+a≥0对于一切实数x恒成立，
当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时， 即，
解得：a；
（2）不等式f（x）＜a﹣1等价于ax2+（1﹣a）x﹣1＜0
当a＝0时，不等式可化为x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}；
当a＞0时，不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＜0，此时，
所以不等式的解集为{x|﹣}；
当a＜0时，不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＜0，
①当a＝﹣1时，﹣，不等式的解集为{x|x≠1}；
②当﹣1＜a＜0时，，不等式的解集为{x|x或x＜1}；
③当a＜﹣1时，﹣，不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣}．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次函数性质的相互转化，及二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用．
20．【分析】（1）将x＝8，9，10分别代入关系式x＝m2﹣n2，若满足关系式，则属于A，若不满足关系式，则不属于A，即可得答案，
（2）根据已知中集合A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数x∈A可得答案．
（3）m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数；当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数．由此能求出所有满足集合A的偶数．
【解答】解：（1）∵8＝32﹣12，9＝52﹣42，∴8∈A，9∈A，
假设10＝m2﹣n2，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|﹣|n|）＝10，且|m|+|n|＞|m|﹣|n|＞0，
∵10＝1×10＝2×5，
∴或，
显然均无整数解，
∴10∉A，
∴8∈A，9∈A，10∉A，
（2）∵集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1＝（k+1）2﹣k2，
∴2k+1∈A，
∴即一切奇数都属于A，
又∵8∈A，
∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”，
（3）集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m、n∈Z}，m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
①当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，
②当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，
综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z．
【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．