06，陕西省延安市延川县中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份06，陕西省延安市延川县中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求直线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】因为直线AB的斜率，
设直线AB的倾斜角为，则，
所以.
故选：B.
2. 在空间直角坐标系中，点A、B坐标分别为，．则A、B两点的距离为（ ）
A. B. C. 10D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间两点之间距离公式求解即可.
【详解】.
故选：B
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离
C. 内含D. 外切
【答案】A
【解析】
【分析】首先得到两圆的圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆即，则圆心为，半径，您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 所以，则，
所以两圆相交.
故选：A
4. 与向量共线的单位向量可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.
【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.
故选：D
5. 直线：与直线：平行，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行得到方程和不等式，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：A
6. 如果且，那么直线不通过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】因为，且，所以、、均不为零，
由直线方程，可化为，
因为，且，可得，，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：C.
7. 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则
B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α
C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【答案】B
【解析】
【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.
【详解】对于A，，所以，A正确；
对于B， ，所以，B错误
对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；
对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.
故选：B.
8. 已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得直线和直线的斜率，再利用数形结合法求解.
【详解】解：如图所示：

，
由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交，
故的斜率的取值范围为.
故选：D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量加减法则及其几何意义判断各项的正误.
【详解】A：，对；
B：，对；
C：，错；
D：，对.
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 点关于直线的对称点为
C. 过，两点的直线方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点的直线．
【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确；
B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确；
C．两点式使用的前提是，错误；
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误．
故选：AB．
11. 对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A. 直线恒过定点B. 直线斜率必定存在
C. 时直线的倾斜角为D. 时直线在轴上的截距为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，当时斜率不存在，即可判断B，求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断C，求出直线与轴的交点，即可判断D.
【详解】直线，令，则，所以直线恒过定点，故A正确；
当时，直线斜率不存在，故B不正确；
当时直线，即，则直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，故C不正确；
当时直线，令，解得，即直线在轴上的截距为，故D正确；
故选：BC．
12. 如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 平面B.
C. 平面D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法依次判断各个选项即可.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
对于A，，即，平面，A正确；
对于BD，，，B正确，D错误；
对于C，，，平面，C正确.
故选：ABC.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示，直接构造方程求解即可.
【详解】，
，即，
解得.
故答案为：.
14. 在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案：.
15. 已知直线l过点，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为_____.
【答案】或
【解析】
【分析】设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程.
【详解】设直线的方程为,
因为点在直线上，
所以①，
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为10，
所以②，
由①②可解得或，
故直线的方程为或，
即或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题.
16. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为________
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵，，
∴，，又，
∴在方向上的投影为，
∴P到l距离.
故答案为：2.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 三角形的顶点坐标为，，，求直线和直线的方程．
【答案】：；：.
【解析】
【分析】首先求出斜率，再由斜截式求出直线方程，最后再化为一般式.
【详解】因为，，，
所以，，
所以直线的方程为，即；
直线的方程为，即.
18. 已知向量，，.求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）5；（2）.
【解析】
【分析】(1)根据空间向量的坐标运算可得答案.
（2）先由空间向量的坐标运算得出向量的坐标，再由模长公式可得答案.
【详解】（1）由，，
得.
（2）因，
所以.
19. 已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．
（1）求直线的方程；
（2）求圆的标准方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设，代入得出直线的方程；
（2）设圆心，根据得出圆的标准方程.
【小问1详解】
由题设，
代入得，于是的方程为.
【小问2详解】
设圆心，则，
即，
解得：，
，又圆心，
圆的标准方程为.
20. 已知空间中三点，，，设，．
（1）若向量与互相垂直，求k的值；
（2）若，且，求向量．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由空间向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设，结合条件，列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，，
则，
由向量与互相垂直，可得，
即，解得.
【小问2详解】
设，且,因为，且，
则，解得，或，
即或.
21. 已知点P(0，5)及圆C：.
（1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.
【答案】（1）x＝0或3x－4y＋20＝0；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据垂径定理求解弦长，再根据弦长为即可求出直线方程；
(2)设圆C内过点P的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，则，据此化简即可得轨迹方程.
【小问1详解】
圆C的方程可化为：，圆心C(－2，6)，半径r＝4.
如图，设直线l与圆C交于AB两点，则，D是AB的中点，则，.
在Rt△ADC中，可得.
当直线l斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点到直线的距离公式得＝2，解得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝0，
，
∴弦长为满足题意.
因此，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
【小问2详解】
设圆C内过点P的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，
∴，∵，，
∴(x＋2)x＋(y－6)(y－5)＝0，
化简得轨迹方程：.
22. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】

解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.