中职数学北师大版（2021）拓展模块一 上册1.2 四种命题优秀习题

1.2  四种命题

分层作业

1．下列关于四种命题的真假判断正确的是

A．原命题与其逆否命题的真值相同 B．原命题与其逆命题的真值相同

C．原命题与其否命题的真值相同 D．原命题的逆命题与否命题的真值相反

【答案】A

【详解】互为逆否关系的命题同真假，所以A正确，故选A．

2．“若，则”的否命题为               

【答案】“若，则”

3．“若，则”的逆命题为               

【答案】“若，则”

4．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原命题和它的逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可.

【详解】原命题：若，则是真命题，它的逆否命题为真命题，

逆命题为：若，则为假命题．否命题为假命题，

所以在三个命题中真命题的个数是，

故选：B．

5. 命题“若，，则”的逆否命题是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若且，，则

D．若或，，则

【答案】D

【分析】根据逆否命题的定义，即可得到结果.

【详解】因为命题“若，，则”，

则其逆否命题为若或，，则.

故选:D

6. 若a＝0，则ab＝0的逆命题是                                  .

【答案】若ab＝0，则a＝0

【分析】直接利用逆命题的定义求解即可.

【详解】将原命题的条件与结论调换可得，

若a＝0，则ab＝0的逆命题是：

若ab＝0，则a＝0，

故答案为：若ab＝0，则a＝0

1. 在命题“若是奇数，则，都是奇数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】D

【分析】举出反例得到原命题为假命题，根据命题之间的关系得到逆否命题也是假命题，判断出逆命题为假命题，从而否命题也是假命题.

【详解】“若是奇数，则，都是奇数”是假命题，可举出反例，比如为奇数，但中一奇一偶，故原命题为假命题，则逆否命题也是假命题.

“若是奇数，则，都是奇数”的逆命题是“若，都是奇数，则是奇数”，此为假命题，

因为若，都是奇数，则为偶数，故“若是奇数，则，都是奇数”的否命题也是假命题；

综上：真命题的个数为0.

故选：D

2．以下四个命题中，真命题的个数是（    ）

①“若，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C

【分析】对于①，写出原命题的逆命题，举反例判断；对于②，举特例验证；对于③，写出原命题的的否定，再进行判断．

【详解】对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则，而，满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时，故①是假命题；

对于②，当时，，故②是真命题；

对于③，“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，可知③是真命题．

故选：C.

3．已知原命题：“若x＜－2，则”，则逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，判断真命题个数.

【详解】原命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；

原命题的逆命题为：“若，则”，

由得或，所以逆命题为假命题；

又因为原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题为假命题；

综上，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题个数为1个.

故选：B.

4．下列命题中，真命题是（    ）

A．命题“若a>b，则ac2>bc2”

B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题

C．命题“当”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题

【答案】D

【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．

【详解】A．当时，不成立，A错；

B．命题“若，则”的逆命题是若，则，错误，也可能是；

C．命题“当时，”的否命题是若，则，错误，时，也有；

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，逆否命题也是真命题．

故选：D．

5．有下列四个命题：

①“若，则互为相反数”的逆命题；

②“若，则”的否命题；

③“若是无理数，则都是无理数”的逆命题；

④“若，则”的逆否命题.

其中真命题的序号是          .

【答案】①④

【分析】对①②③：直接写出原命题的逆命题或否命题，并判断真假；对④：根据原命题与逆否命题的真假性一致，结合一元二次不等式的解法分析判断.

【详解】对①：“若，则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数，则”为真命题；

对②：“若，则”的否命题为“若，则”

∵，

∴不能得到，例如，

故“若，则”为假命题；

对③：“若是无理数，则都是无理数”的逆命题为“若都是无理数，则是无理数”，

例如，则为有理数，

故“若都是无理数，则是无理数”为假命题；

对④：∵，解得，

∴“若，则”为真命题，

故其的逆否命题为真命题.

故答案为：①④.

6．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)垂直于同一个平面的两条直线平行；

(2)设，，，是实数，若，，则．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）（2）根据逆命题、否命题、逆否命题定义可解．

【详解】（1）垂直于同一个平面的两条直线平行；

逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一平面；

否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则它们不平行；

逆否命题：若两直线不平行，则它们不垂直于同一平面；

（2）设，，，是实数，若，，则，

逆命题：设，，，是实数，若，则，，

否命题：设，，，是实数，若或，则，

逆否命题：设，，，是实数，若，则或．

1．一个命题的四种形式的命题中真命题的个数可能取值是（　　）

A．0或2 B．0或4 C．2或4 D．0或2 或4

【答案】D

【详解】由于一个命题与它的逆否命题同真假，因此一个命题的四种形式的命题中真命题的个数可能取值是为0个或2个或4个,选D.

2．命题“若，则”的逆否命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用逆否命题的定义求解.

【详解】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.

故选：D

3．给出以下四个命题：

①“若，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若，则有实根”的逆否命题；

④“若是正整数，则a，b都是正整数”

其中的假命题是                 ．（写出所有假命题的序号）

【答案】②④

【分析】利用四个命题的知识，结合初中知识，对所给命题分别进行分析判断即可得解.

【详解】对于①，命题“若，则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数，则”，

该逆命题显然成立，故①为真命题；

对于②，先将命题“全等三角形的面积相等”改写成“若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，

故原命题的否命题为“若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等”，

因为两个不是全等三角形的三角形，只要等底等高，两者的面积即可相等，故②为假命题；

对于③，当时，，则有实根，即原命题为真命题，

根据互为逆否命题的两个命题同真假，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；

对于④，取，，则是正整数，但，不是正整数，故④为假命题．

综上可得①③为真命题，②④为假命题．

故答案为：②④.

4．有下列四个命题：①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆命题；④“若，则”的逆否命题.其中真命题的个数是           .

【答案】1

【分析】①写出“若，则”的逆命题求解判断； ②写出“全等三角形的面积相等”的否命题，举例判断； ③写出“若，则有实根”的逆命题，利用判别式判断； ④利用等价命题判断.

【详解】①“若，则”的逆命题是：“若，则”， 当时，则或b=-3，为假命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形的面积不相等”，如一个三角形的底为2，高为3，另一个三角形的底为3，高为2，两个三角形不全等，但面积相等，为假命题；

③“若，则有实根”的逆命题是：“若有实根，则”， 若有实根，则，即是真命题；

④因为若，则，所以”若，则”是假命题，所以其逆否命题也是假命题.

故答案为：1

5．已知四个命题：

①“若，则，中至少有一个不小于1”的逆命题；

②中，是的充分必要条件；

③“若空间两条直线不相交，则这两条直线平行”的逆否命题；

④若直线平面，直线平面，则.

则上述命题中所有真命题的序号是           .

【答案】②④

【分析】①根据举反例判断，②根据正弦定理及三角形性质判断，③根据空间直线位置关系判断，④根据立体几何定理判断.

【详解】对于①，逆命题不成立，反例为: a=2，b=-3，则a＋b=-1<2，即a+b>2不成立，所以①假;

对于②，由三角形正弦定理知sinA <sinBa<bA<B，所以②真;

对于③，逆否命题与原命题是等价的，空间两条直线不相交，这两条直线不一定平行，还可能异面，原命题为假，所以③假;

对于④，直线平面α，直线平面α，则l，这是线面垂直的性质定理，所以④真.

故答案为:②④

6. 写出“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.

【答案】见解析

【分析】先分清原命题的条件和结论，再根据原命题的逆命题、否命题、逆否命题的定义写出相应的命题，然后判断其真假即可．

【详解】逆命题为：若，则．由于方程的解为或，故逆命题为假命题．

否命题为：若，则．由于逆命题与否命题为等价命题，故否命题为假命题．

逆否命题为：若，则．由于逆否命题与原命题为等价命题，原命题为真命题，故逆否命题为真命题．