安徽省宣城市第六中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

2023-2024学年度第一学期九年级10月份限时训练

数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.下列关系式中，属于二次函数的是（是自变量）（   ）

A. B. C. D.

2.抛物线的顶点坐标是（   ）

A. B. C. D.

3.关于抛物线下列描述正确的是（   ）

A.对称轴为直线  B.最大值为

C.图像与坐标轴有且只有一个交点 D.当时，随的增大而增大

4.抛物线的图象与轴交点情况是（   ）

A.两个交点 B.一个交点 C.无交点 D.不能确定

5.已知，，是反比例函数的图象上三点，且，则的大小关系是（   ）

A.  B.

C.  D.

6.如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为（   ）

A.-12 B.-27 C.-32 D.-36

7.对于函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

8.如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与轴交于两点（在的左侧，且两点间距4个单位长度），点的横坐标最小值为-6，则点的横坐标最大值为（   ）

A.-3 B.1 C.5 D.8

9.边长为1的正方形的顶点在正半轴上，点在正半轴上，将正方形绕顶点顺时针旋转，如图所示，使点恰好落在函数的图象上，则的值为（   ）

A. B. C. D.

10.如图，四边形是矩形，，，动点以每秒2个单位的速度从点沿线段向点运动，同时动点以每秒3个单位的速度从点出发沿的方向运动，当点到达点时同时停止运动，若记的面积为，运动时间为，则下列图象中能大致表示与之间函数关系图象的是（   ）

A. B. C. D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为_______.

12.将二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再关于轴对称所得到的新的函数图象的表达式是__________.

13.若抛物线与、、、四条直线围成的正方形有公共点，则的取值范围是__________.

14.设抛物线，其中为实数.

（1）若抛物线过坐标原点，则的值为__________.

（2）若，则抛物线顶点纵坐标的最大值为__________.

三、解答题（共90分）

15.（8分）已知抛物线的顶点为，且经过点，试确定该抛物线的函数表达式.

16.（8分）已知二次函数.用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴.

17.（8分）已知函数.

（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；

（2）若函数有最小值，求的值.

18.（8分）已知，其中与成正比例，与成正比例，且抛物线经过点与点.求与的函数表达式.

19.（10分）在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点都是和谐点.若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，求该二次函数表达式.

20.（10分）如图，反比例函数的图像分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值.

21.（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，与反比例函数的图象交于两点，轴于点，已知点的坐标是，.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式.

（2）求的面积.

（3）根据图象直接回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

22.（12分）某快餐店给顾客提供两种套餐.套餐每份利润8元，每天能卖90份；套餐每份利润10元，每天能卖70份.若每份套餐价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐价格提高1元，每天少卖出2份.（注：两种套餐的成本不变）

（1）若每份套餐价格提高了元，求销售套餐每天的总利润元，元与之间的函数关系式；

（2）物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？

23.（14分）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；

（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.

2023-2024学年度第一学期九年级10月份限时训练

数学参考答案

一、选择题

1.A  2.D  3.C  4.B  5.D  6.C  7.B  8.B  9.D  10.B

二、填空题

11.， 12.

13. 14.（1）（2）0

三、解答题

15.解：由题意，可设抛物线解析式为

抛物线过点，，

抛物线解析式为：

16.解：

所以顶点坐标为对称轴为直线.

17.解：（1）证明：，

不论为何值时，，

即，

此二次函数图象与轴有两个不同交点.

（2）由题意，得，

解得，

18.解：设，

将分别代入上式，得，且，

，，

19.解：令，即，

由题意，，即，

将代入函数表达式，得：

解得，.

故函数关系式为.

20.解：由题意可得，设，则：

因为，

且是等边三角形，

所以，，，，舍去

所以

则

21.（1）解：点在反比例函数的图象上，

，反比例函数的关系式为，

点在反比例函数上，且，

，代入求得：，

点的坐标为.

两点在直线上，则，解得，

一次函数的关系式为；

（2）解：连接.

把代入，解得，即，则，

；

（3）解：由图像可知：或时，一次函数的值大于反比例函数的值.

22.（1）解：由题意可得：套餐每份提高了元，则每天卖出，

套餐每份提高了元，则每天卖出份，

则：套餐每天的总利润，

套餐每天的总利润；

（2）设套餐每份提高了元，则套餐每份提高了，

，

则两种套餐每天利润之和为：

，

即：，

，当时，有最大值，

即：套餐提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大.

23.解（1）解方程，得，.

由，有，.

所以点A，B的坐标分别为，.

将，的坐标分别代入，

得解这个方程组，得

所以抛物线的解析式为.

（2）由，令，得.

解这个方程，得，.

所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.

过D作轴的垂线交轴于，如图所示.

则.

，.

所以

（3）设点的坐标为

因为线段过B，C两点，所以所在的直线方程为.

那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为.

由题意，得

①，即

解这个方程，得或（舍去）.

②，得.

解这个方程，得或（舍去）.

点的坐标为或.