2021北京陈经纶中学高一（上）期中数学（教师版）

2021北京陈经纶中学高一（上）期中

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．（4分）已知集合，0，，集合，那么　　

A． B．， C．， D．，0，

2．（4分）若，，则为　　

A． B． 

C． D．

3．（4分）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为　　

A． B． C． D．

5．（4分）已知正数、满足，则有　　

A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值

6．（4分）若，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

7．（4分）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（4分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是　　

A． B． 

C． D．

9．（4分）手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化　　

A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定

10．（4分）对实数与，定义新运算“”： ．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）幂函数的图象过点，则（9）　　．

12．（5分）计算　　．

13．（5分）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是　 　．

14．（5分）已知函数，，且，，，，则（2）　　；的一个解析式可以是　　．

15．（5分）设定义在上的函数满足：

（1）当，时，；

（2）；

（3）当时，．

则在下列结论中：

①（a）；

②在上是递减函数；

③存在，使；

④若，则，．

其中正确结论的命题为 　　．

三、解答题（共6小题，共85分）

16．（14分）已知集合，．

（Ⅰ）若，全集，求；

（Ⅱ）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围．

条件①：若；

条件②：若．

17．（14分）已知函数．

（Ⅰ）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（Ⅱ）解不等式．

18．（14分）已知函数定义在区间，上，其中，．

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）求的最大值．

19．（14分）已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．（14分）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量（百件）与销售价格（元的关系如图；③每月需要各种开支2000元．

（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？

（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额．

（Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？

21．（15分）已知的定义域为，且满足对于任意，，都有，且当时，，且（1）；

（1）求与（3）；

（2）判断的奇偶性；

（3）判断的单调性；

（4）解不等式．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．

【解答】解：，0，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．【分析】根据含有量词的命题的否定进行分析求解，即可得到答案．

【解答】解：因为，，

所以为．

故选：．

【点评】本题考查了命题的否定，主要考查的是含有一个量词的命题的否定，要注意改变量词，然后再否定结论．

3．【分析】根据条件取，，，即可排除错误选项；由不等式的基本性质，即可判断．

【解答】解：由，，，且，取，，，则选项错误．

由，得，成立，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

4．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．

【解答】解：由于函数是非奇非偶函数，故排除；

由于是奇函数，且在上是减函数，故排除；

由于在，，上不具有单调性，故排除；

，，都不对，

对于，，故函数在上递增且为奇函数；

故选：．

【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．

5．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为正数、满足，

则，当且仅当时取等号，即有最大值，

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题．

6．【分析】根据指数函数的单调性，判断、、与1的大小．

【解答】解：因为函数是单调增函数，且，

所以，即；

又函数是单调减函数，且，

所以，即；

所以．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

7．【分析】根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，该函数开口向上，在对称轴右侧单调递增，结合充分条件必要条件的定义进行判定即可．

【解答】解：，开口向上，对称轴为，

函数在区间上单调递增，则，

“”能推出“函数在区间上单调递增”，

但“函数在区间上单调递增”不能推出，有可能等于0，

故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，解题的关键是弄清二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关．

8．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．

【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系图，

可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，

结合所给的选项，

故选：．

【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．

9．【分析】设原来手机屏幕面积为，整机面积为，则屏占比，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为，升级后屏占比，作差得答案．

【解答】解：设原来手机屏幕面积为，整机面积为，则屏占比，

设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为，

升级后屏占比，

，，

即该手机“屏占比”和升级前比变大．

故选：．

【点评】本题考查合情推理和不等式知识的联系．本题考查函数模型的选择及应用，考查不等式的性质，属于基础题．

10．【分析】根据定义的运算法则化简函数的解析式，并求出的取值范围，函数的图象与轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数的取值范围．

【解答】解：，

函数，

由图可知，当

函数 与的图象有两个公共点，

的取值范围是，

故选：．

【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．

【解答】解：设幂函数为常数），

幂函数的图象过点，，

，解得，

（9）．

故答案为：3．

【点评】正确理解幂函数的定义是解题的关键，本题是一道基础题．

12．【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可．

【解答】解：原式．

故答案为：．

【点评】本题考查了分数指数幂的化简求值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

13．【分析】由题意可得，由此求得的取值范围．

【解答】解：由于是定义在上的减函数，，

求得，

故答案为：，．

【点评】本题主要求函数的单调性的性质，属于基础题．

14．【分析】由题可知，从而推出，再根据换元法，即可求得解析式及（2）．

【解答】解：由，，，

可得，

因为，

所以，

令，则，

所以，

所以（2）．

故答案为：48；．

【点评】本题考查函数解析式的求法，熟练掌握换元法和指数的运算法则是解题的关键，考查学生的分析能力和运算求解能力，属于中档题．

15．【分析】令，结合可得，由此可计算①；用单调性的定义可证明②；因为，当时，，又由②可知在上是递减函数；所以存在，使，故③正确；④中结合函数单调性可发现矛盾，故可判断④错误．

【解答】解：令，则，

因为，所以，

当时，

①因为（a），所以①正确；

设，

则，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

所以在上是递减函数，所以②正确；

③，因为，当时，，

又由②可知在上是递减函数；

所以存在，使，故③正确；

④由②可知，在上是递减函数，

所以（2）应该小于，故④错误，

故答案为：①②③．

【点评】本题考查了抽象函数及其应用，命题的真假判断，属于中档题．

三、解答题（共6小题，共85分）

16．【分析】（Ⅰ）先求出集合，，然后由并集的定义求出，再利用补集的定义求解即可；

（Ⅱ）若选条件①：利用，可得，然后由集合子集的定义求解即可；

若选条件②：，由集合交集以及空集的定义列式求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）当时，，

又，

所以，

故；

（Ⅱ）若选条件①：由，可得，

则，解得，

故的取值范围为，．

若选条件②：

由，则或，

解得或，

故的取值范围为，，．

【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集、补集、并集、子集的定义，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）任取，，令，作差整理，只需得到，即可得证；

（Ⅱ）将不等式整理为，序轴标根法可得不等式解集．

【解答】（Ⅰ）证明：任取，，令，

则，

因为，，且，

所以，，

所以，

即，

所以在区间上是增函数；

（Ⅱ）因为，

所以，

即，

整理得，

等价于，

解得或，

所以不等式的解集为，，．

【点评】本题考查了定义法证明函数单调性，高次不等式的解法，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）根据题意，将代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得在区间上单调递增，在上单调递减，分析可得答案；

（Ⅱ）根据题意，按的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当时，；

所以在区间上单调递增，在上单调递减．

因为，（2），

所以的最小值为．

（Ⅱ）①当时，．

所以在区间，上单调递增，

所以的最大值为（2）．

当时，函数图象的对称轴方程是．

②当，即时，的最大值为．

③当时，在区间，上单调递增，

所以的最大值为（2）．

综上，当时，的最大值为；

当时，的最大值为．

【点评】本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．

19．【分析】（Ⅰ）利用定义域为的函数是奇函数，求的值；

（Ⅱ）求出的解析式，即可求的解析式；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，在上是减函数，所以．即对任意恒成立，即可求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，

所以．（2分）

（Ⅱ）因为当时，，

所以．

又因为函数是奇函数，所以．

所以．

综上，（6分）

（Ⅲ）由得．

因为是奇函数，所以．又在上是减函数，所以．

即对任意恒成立．

方法一令，则△．由△，解得．

方法二即对任意恒成立．令，

则

故实数的取值范围为．（10分）

【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）利用该店经营的利润只能保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支以及每月所需的各种开支，据此列出方程，即可确定商品的价格；

（Ⅱ）设月利润和除职工最低生活费的余额为，列出与售价的函数关系式，根据函数的性质求出取最大值时自变量的值，即可确定商品的价格；

（Ⅲ）企业乙脱贫即还清2万元的转让价格，要求最早脱贫时间，由（2）中的值，根据题意设可在年后脱贫，则此年经营的利润，求出的最小值即可．

【解答】解：（Ⅰ）根据图象，当时，设，

将点和代入，

则有，解得，

则；

当时，设，

将点和代入，

则有，解得，

所以；

则，

若商品的价格应定为元时，该店刚好能够维持职工生活，

则有，分两种情况：

第一种：当时，即，解得，（舍；

第二种：当时，即，解得，（舍，

故为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在，元范围内；

（Ⅱ）设月利润和除职工最低生活费的余额为，

则，分两种情况：

第一种：当时，即，

则当时，有最大值，

此时；

第二种：当时，即，

则当时，有最大值，

此时，

因为，

所以当元时，月利润扣除最低生活费的余额最大为4050元；

（Ⅲ）可设在年后脱贫，

由题意可得，解得，

故乙只依靠该店，不能在3年内脱贫．

【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，要求学生能够从图象上准确地获取信息，解题的关键是正确理解题意，构建数学模型，属于中档题．

21．【分析】（1）利用赋值法即可求与（3）；

（2）根据函数的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．；

（3）根据函数单调性的定义即可判断的单调性；

（4）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．．

【解答】解：（1）令，则由条件得，即，

当时，（2）（1）（1）（1），

（3）（1）（2）；

（2），令，得，

即，则是奇函数；

（3）设，则设，此时，

即，

即，则，

即的单调递减；

（4）不等式等价为（3），

即（3），

函数的单调递减，

，即，

解得或，

即不等式的解集为或．

【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．