重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期10月阶段性检测（一）试题（Word版附解析）

西南大学附中高2025届高二上阶段性检测（一）

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号､准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁､完整.

3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在以下调查中，适合用全面调查的个数是（    ）

①调查一个班级学生的吃早餐情况

②调查某种饮料质量合格情况

③调查某批飞行员的身体健康指标

④调查某个水库中草鱼的所占比例

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】结合全面调查和抽样调查的特点进行判断.

【详解】①因为一个班级学生的人数不太多，吃早餐情况的全面调查也容易操作，所以适合全面调查；

②某种饮料数量太多，质量合格情况适合抽样调查；

③飞行员职业特点决定了身体健康指标必须全面调查；

④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多，不适合全面调查.

故选：B

2. 样本中共有5个个体，其值分别为.若该样本的平均数为3，则的平均数为（    ）

A. 1 B. 3 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得到，进而利用平均数定义得到的平均数.

【详解】由题意得，故，

则

.

故选：D

3. 围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（    ）

A. 偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高

B. 在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等

C. 小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等

D. 在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高

【答案】D

【解析】

【分析】由酒店预订条形图和民宿预订扇形图逐一分析四个选项得答案．

【详解】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为，

则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，故A正确；

在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，

在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，

则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故B正确；

小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为，

携程旅行的占比为，携程旅行的占比略高于小红书占比，故C正确；

在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为和，

抖音的占比分别为和，则酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，故D错误．

故选：D．

4. 现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球.周末，高二年级甲､乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球.在同一罚球点，两人各自踢了10个球，甲进了9个球，乙进了8个球，以频率估计各自进球的概率.记事件A：甲踢进球；事件B：乙踢进球.甲､乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据事件与事件相互独立，结合，即可求解.

【详解】由题意知，甲､乙两人是否进球互不影响，即事件与事件相互独立，

又由，所以.

故选：D.

5. 过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设所求直线的方程为，再将点代入求出即可得解.

【详解】设所求直线的方程为，

则，解得，

所以所求直线的方程为，即.

故选：A.

6. 抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则能够构成锐角三角形的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出能够构成锐角三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】由题意可知，基本事件的总数是6，

结合大边对大角可知，最大边对应的最大角为锐角，则能够构成锐角三角形，

当时，因为不符合要求；

当时，因为不符合要求；

当时，因为不符合要求；

当时，因为符合要求；

当时，因为符合要求；

当时，因为符合要求；

所以能构成锐角三角形的共有3种情况，

故能够构成锐角三角形的概率.

故选：C.

7. 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一､高二､高三年级学生各有700人､600人､700人.其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（    ）

A. 0.433 B. 0.435 C. 0.442 D. 0.451

【答案】C

【解析】

【分析】先求出总体的平均数，再根据分层抽样方差的求法，计算即可得出答案.

【详解】记高一、高二、高三年级平均拥有手机分别为，

则，，.

记高一、高二、高三年级平均拥有手机的方程分别为，

则，，.

则总的平均值，

所以，方差

.

故选：C.

8. “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（    ）种不同的出场顺序.

A. 72 B. 78 C. 96 D. 120

【答案】B

【解析】

【分析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可.

【详解】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种；

当甲不在第一、三出场时，共有种；

故共有种不同的出场顺序.

故选：B

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据四个事件，再结合交事件和并事件的定义和事件的包含关系逐一判断即可.

【详解】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，

所以，故A正确；

对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，

所以，故B错误；

对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，

所以，故C正确；

对于D，由C选项可知，所以，故D正确.

故选：ACD.

10. 小张､小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析.其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5.下列说法正确的是（    ）

A. 小张数学测试的最高成绩一定比小陈高

B. 小张测试表现时而好，时而糟糕

C. 小陈比小张的测试发挥水平更稳定

D. 平均来说小陈比小张数学成绩更好

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平均数和标准差的含义判断.

【详解】平均成绩和标准差不能反映最高成绩，故A错；

标准差反映数据的波动程度，而，说明小陈的成绩更稳定，小张的成绩波动比较大，故BC正确；

小张的平均成绩高于小陈的平均成绩，所有平均来说小张比小陈数学成绩更好，故D错.

故选：BC.

11. 下列说法错误有（    ）

A. “”是“与直线互相垂直”的充要条件

B. 过两点的直线的方程为

C. 直线恒过定点

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.由两直线互相垂直求解判断；B.根据直线的两点式方程判断；C.利用判断；D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.

【详解】对于A，当与直线互相垂直时，，

解得：或，故A错误；

对于B，过（且）两点的所有直线的方程为，故B错误；

对于C，因为，

所以直线恒过定点，故C正确；

对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：

当直线经过原点时为，

当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得，

则直线方程为，故D错误；

故选：ABD

12. 甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（    ）

A.

B.

C. 事件与事件C相互独立

D. 事件A与事件D相互独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互独立事件的定义及概率乘法公式判断A,C,D选项，根据古典概型判断B选项.

【详解】对于A: A,B相互独立, ,A正确；

对于B：基本事件共有18种，

事件C包括2种情况, ,B正确；

对于C:由，得相互不独立，C错误；

对于D:由，得相互独立，D正确；

故选：ABD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．

【答案】

【解析】

【分析】先利用平均数的性质求得参数，再利用百分数位数据定义即可得解.

【详解】因为数据的平均数是7，

所以，解得，

因为，

所以这组数据的第百分位数为第位数，即.

故答案为：.

14. 若两个事件相互独立，且，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对立事件的概率公式，即可得答案.

【详解】由于两个事件相互独立，且，

故，

故答案为：

15. 已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线（不考虑斜率不存在的情况）的斜率的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得.

【详解】如图，由题意可知.

要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.

故答案为：

16. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________.

【答案】0.174

【解析】

【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，则所求概率为：

，再根据概率计算公式计算即可.

【详解】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，

由题意，甲要以取胜的可能是，，，

所以

=.

故答案为：0.174.

【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了10件钛合金产品进行抗拉强度（单位：）测试，统计数据如下：

（1）求这10件产品的平均抗拉强度和标准差；

（2）该10件产品抗拉强度位于和之间所占的百分比是多少？

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求平均值，再求方差，从而求出标准差.

（2）先估计、的值，找出10件产品的抗拉强度位于和之间有6件，即可求解.

【小问1详解】

10件产品的平均抗拉强度为：（），

∴标准差为：（）

【小问2详解】

∵，，

∴，，

∴10件产品的抗拉强度位于和之间有6件，

∴.

18. 已知平面内两点.

（1）求的垂直平分线所在直线的直线方程；

（2）过点作直线，分别与轴，轴的正半轴交于两点，当取得最小值时，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线垂直平分线的性质，结合中点的坐标公式、直线斜率公式、互相垂直直线的斜率关系进行求解即可；

（2）根据直线截距式方程，结合基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

∵，

∴中点，

∴直线的垂直平分线的斜率，

直线；

【小问2详解】

设，

则直线，

∵Q在直线上，

∴，

∴，

当且仅当时取等号，即当且仅当时，等号成立

此时，.

19. 为分析某次数学考试成绩，现从参与本次考试的学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）试估计本次数学考试成绩的平均数和第50百分位数；

（3）从样本分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率．

【答案】（1）；   

（2）107.4，105.7；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）利用频率分布表中各小矩形面积和为1计算作答.

（2）利用频率分布表估计平均数及第50百分位数作答.

（3）求出给定两个区间内的人数，再利用列举法求出概率作答.

【小问1详解】

由频率分布表知，成绩

内的频率依次为，

由，解得，

所以.

小问2详解】

由（1）知，，

第50百分位数，则有，解得，

所以本次数学考试成绩的平均数为107.4，第50百分位数105.7.

【小问3详解】

分数在，的两组学生的人数比为，

因此用分层抽样的方法抽取的5名学生中，分数在内的学生有4人，记为，

分数在内的学生有1人，记为，

从5名学生中随机选取2人的结果有，共10个，

选出的2名学生中恰有1人成绩在内的结果有，共4个，

所以选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率为.

20. 已知在中，的对边分别为.

（1）求；

（2）若，求边上的高.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由条件求得，根据两角和差的正余弦公式化简可得，即可求得答案；

（2）利用两角和的正弦公式求出，继而利用正弦定理求出c，结合边上的高为，即可求得答案.

【小问1详解】

∵在中，，

∴，则

即

化简得，

故或，

即或,

∴或；

由于，故，故不合题意，

∴，则

【小问2详解】

，

由正弦定理以及，可得,

∴边上的高为.

21. 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题.该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是.已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项.

（1）求该同学11题得5分的概率；

（2）求该同学两个题总共得分不小于7分的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算；

（2）利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式计算.

【小问1详解】

根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，

选两个选项共有6种情况.

所以.

【小问2详解】

总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分，

记事件：11题得2分，满足选了一个选项且选对；

事件：11题得5分，满足选了两个选项且选对；

事件：12题得2分，满足选了一个选项且选对或选了两个选项且选对；

事件：12题得5分，满足选了三个选项且选对.

则；；

；；

.

22. 如图，在三棱柱中，，为中点，.

（1）求证：；

（2）线段上是否存在一点，使得与面的夹角正弦值为.

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，是线段的三等分点，且靠近

【解析】

【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明，

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量列式求解．

【小问1详解】

∵，∴

∵为中点，∴，∵，

∴，∴，

∵，∴，

∵且为中点，∴，

∵，平面，∴平面，

∵平面，∴.

【小问2详解】

如图，以D为原点，为轴正向，为轴正向，为轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.

，，

令，则，，

令面的法向量为，，∴，

，解得，

所以是靠近的三等分点.