四川省绵阳南山中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学2023年秋季高一10月月考

数学试题

2023年10月

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据常见数集的符号表示，结合属于关系与包含关系的定义、空集的性质进行判断即可.

【详解】因为是实数，所以①正确；

因为所以的整数都是有理数，所以，因此②不正确；

因为空集中没有元素，所以③不正确；

因为空集是任何集合的子集，所以④正确，

因此正确个数为，

故选：B

2. ，则下面的关系式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由集合B中元素的性质可判断，由此结合集合的交并补运算，一一判断各选项，可得答案

【详解】由于，

故，则，A错误，D正确；

由于，只有当时，，此时才有，B错误；

由于，故，C错误，

故选：D

3. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则．

【答案】C

【解析】

【分析】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分三种情况讨论即可判断大小.

【详解】A选项，，故A错误；

B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误；

C选项，当时，；

当时，，

当时，，

综上，故C正确；

D选项，，故D错误.

故选：C

4. 若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式的解集为（    ）

A. {x|x>1或x<－2} B. {x|1<x<2}

C. {x|x>2或x<－1} D. {x|－1<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据题意得到为的根，从而得到且，将不等式等价于，再解不等式即可.

【详解】由题知：

为的根，所以，即，

又因为的解集为，所以.

故

解得或.

故选：C

5. 已知命题任意，命题：关于的不等式有解，若命题､命题一真一假，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 且

【答案】D

【解析】

【分析】假设命题为真命题求得参数a的取值范围，讨论命题､命题一真一假的情况，综合可得答案.

【详解】当命题为真时，即：“”，

即当时，，又当时，取最小值，即得，

当命题为真时，即：关于的不等式有解，

所以，所以或，

又命题一真一假，

当真假，即，所以

当假真，即，所以

即实数的取值范围是：且；

故选：D

6. 若、、均大于0，且，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值.

【详解】解：、、均大于0,

当且仅当时取“=”,

的最大值为.

故选:C

【点睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先变形,然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等.

7. 已知命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求的范围是（    ）

A. 或 B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】解相应不等式可得命题与对应条件，后由必要不充分条件与集合关系可得答案.

【详解】由，解得：.

，或.

由，解得：.

，

是成立的必要不充分条件，则集合是集合的真子集.

或，解得或.

的范围是或.

故选：A

8. 关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可先求得关于的方程没有一个负根时，的取值范围，即可得出满足题意的的范围.

【详解】当方程没有根时，，即，

解得；

当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得，

综上可知，

即关于的方程没有一个负根时，，

所以至少有一个负根的充要条件是.

故选：B

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列描述中，正确的是（    ）

A. 命题“存在”的否定是“任意”

B. 已知为两个命题，若“或”为假命题，则“非且非”为真命题

C. “”是“”的必要不充分条件

D. 若，则的最小值为2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据含有一个量词的命题的否定可判断A；根据“或”“且”“非”命题的真假判断判断B；根据必要不充分条件的判定可判断C；利用对勾函数的单调性求得的最小值判断D.

【详解】对于A，命题“存在”的否定是“任意”，A错误；

对于B，“或”为假命题，则、都假命题，

故非和非都是真命题，故“非且非”为真命题，B正确；

对于C，当时，推不出；

当时，必有成立，故“”是“”的必要不充分条件，C正确；

对于D，，，则，

令，则，而函数在上单调递增，

故的最小值为，即的最小值为，D错误，

故选：BC

10. 已知，若，则实数的值可以是（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】分与两种情况求解即可.

【详解】，当时，，满足题意；

当时，，此时或，

解得或.

综上有，或.

故选：ABC

11. 关于的不等式的解集为，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集与方程根的关系可知，方程的两实数根为3和4，利用韦达定理计算可得，，对选项逐一判断即可得出结论.

【详解】由题意可知，3和4是方程的两实数根，

利用韦达定理可知，即可得，，即A正确；

解得，所以，可得B正确；

所以，即C错误；

可得，即D正确.

故选：ABD

12. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A，B我们把集合且，叫作集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　）

A. 已知，，则

B. 已知或，，则或

C. 如果，那么

D. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据定义可判断AB；根据差集与补集的定义可判断CD.

【详解】对于A：由且，故，故A错误；

对于B：或，则或，故B正确；

对于C：由且，则，故，故C正确；

对于D：如图，阴影部分表示，由定义阴影部分也表示，则，

故D正确；

故选：BCD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若，则的范围为_______________

【答案】

【解析】

【分析】先求得的取值范围，根据不等式的性质求得的取值范围.

【详解】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.

故填：.

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

14. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用韦恩图求解．

【详解】设全班参加比赛的同学组成全集，参加径赛的同学组成集合，参加田赛的同学组成集合，参加球类比赛的同学组成集合，

设同时参加田赛和球类比赛的有人，

根据题意，画出韦恩图如图所示，

在相应的位置填上数字，则，

解得，

所以同时参加田赛和球类比赛的有人，

所以只参加球类比赛的人数为人，

故答案为：．

15. 不等式解集为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.

【详解】根据不等式整理可得，

即，等价于，

解得；

所以不等式的解集为

故答案为：

16. 二次函数，对任意，都有恒成立，则的取值范围是__________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据题意可知，将不等式整理成关于的一次函数，并根据一次函数性质解不等式即可求得的取值范围.

【详解】由题意对任意，都有恒成立，

即对任意恒成立，

不妨令，将此函数看成关于的一次函数，其中为参数，

由一次函数性质可得，即，

解得或.

即的取值范围为或.

故答案为：或.

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，求和.

【答案】.

【解析】

【分析】解集合A对应方程，后由交集，并集定义可得答案.

【详解】因为，解得或10，

则，则.

18. （1）已知集合，求实数的值；

（2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）且.

【解析】

【分析】（1）根据，讨论集合A中元素，列式求解，即得答案；

（2）根据集合有四个子集，可得A中有2个元素，结合一元二次方程的判别式求得答案.

【详解】（1）解：由题知因为，故，

又因为，则或，

①当时，即，此时，

集合中的元素不满足互异性，故舍；

②当时，即，解得或（舍），

此时，集合中的元素满足互异性，

综上所述，；

（2）由题因为集合有四个子集，

所以集合中有两个元素，

所以，且，即且，

所以且.

19. “水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，这框架面积之和为，现地上部分要建在矩形上，已知两框架与矩形空白的宽度为，两框架之间的中缝空白的宽度为.

（1）设矩形框架宽度为，求水立方占地面积的表达式（不用写出的取值范围）；

（2）怎样确定矩形框架的高与宽的尺寸（单位：），使水立方占地面积最小，最小值是多少（单位：）？

【答案】（1）   

（2）当矩形框架的高为，宽为时，水立方占地面积最小，为.

【解析】

【分析】（1）分别表达矩形的长宽，进而可得面积；

（2）根据基本不等式求解即可.

【小问1详解】

框架面积之和为，则每个矩形框架面积为，

矩形框架宽度为，则高为，

故水立方宽为，高为，

则.

【小问2详解】

，

当且仅当，等号成立，此时高，

故当矩形框架的高为，宽为时，水立方占地面积最小，为.

20. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.问题：

已知集合.

（1）当时，求；

（2）若__________，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）将代入可求得集合，再由交集和补集运算即可求出结果；

（2）若选择①，可利用数轴分类讨论出集合中参数需满足的范围即可计算出结果；

若选择②，由条件可得，对集合是否为空集进行分类讨论即可；

若选择③，根据可限定出两端点处取值范围，解不等式可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

当时，集合，

可得或，

所以；

【小问2详解】

若选择①，

则或，

解得或，所以可得；

所以实数的取值范围是.

若选择②，

“”是“”的充分不必要条件，则，

因为，

当时，，即；

当时，所以可得，即；

综上可知，实数的取值范围是.

若选择③，

，因为，

时，，即；此时满足；

时，或，解得

综上可知，实数的取值范围是或.

21. 已知​，且​.

（1）求证： ​；

（2）求证： ​.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)用巧用“1”进行代入化简，再用基本不等式即可得证.

(2)将代入“”中，再进行化简，即可使用基本不等式求证.

【小问1详解】

证明：由 , 所以 . 所以

，

 当且仅当 时取等号 即 .由此得证.

【小问2详解】

证明：由 .

当且仅当 时取等号.由此得证.

22. 已知关于的函数.

（1）解关于的不等式；

（2）集合，集合，若对，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）讨论的范围，即可求出不等式的解集；

（2）先求出集合，由题意可得，即，又，解不等式即可得出答案.

【小问1详解】

由得

当时，解集为

当时，解集为或

当时，解集为或

【小问2详解】

，由题知

当时，；当时，；

得①，

在处取得最小值，

当时，，

得②，

由①②可得.