四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

南山中学2023年秋季2022级10月月考数学试题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．直线x+1＝0的倾斜角为（　 ）

A．0°                  B．45°                 C．90°              D．不存在

2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（    ）

A．      B．         C．        D．

3．直线l：2x﹣3y+6＝0在x轴上的截距是（　）

A．(﹣3，0)         B．(3，0)             C．-3             D．3

4．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（     ）

A．         B．          C．     D．

5．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x﹣a正确的是（     ）

A．     B．       C．    D．

6．如图与所在平面垂直，且，，则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为 （     ）

A．                           B．             

C．                             D．

7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（     ）

A．                   B．           

C．                D．

8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段B1C上的动点，则点P到直线AC1的距离的最小值为（　　）

A．                         B． 

C．                        D．

二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．已知平面，其中点，法向量，则下列各点在平面内的是（     ）

A．              B．              C．              D．

10．已知直线l1：，l2：，下列命题中正确的是（     ）

A．若l1⊥l2，则m＝0                  B．当m＝0时，是直线l1的一个方向向量

C．若l1∥l2，则m＝2或m＝﹣2         D．若直线l2在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝4

11．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．下列结论正确的是（     ）

A．若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线

B．线段MN的长度为

C．异面直线MN和CD所成的角为

D．FM+FN的最小值为 2

12．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（     ）

A．               

B．存在一点，使得

C．三棱锥的体积为

D．若，则面积的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

13．一条光线从点P(6,0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2,8),则反射光线所在的直线方程为                 ． 

14．直线和直线分别过定点A和B，则         ．

15．二面角的棱上有两个点A、B，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为          ．

16．若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时，      ．

四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（满分10分）已知平面直角坐标系内三点．

(1)求直线的斜率和倾斜角；

(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标及CD所在直线方程；

(3)若是线段上一动点，求的取值范围．

18．（满分12分）已知点、、，，．

(1)若，且，求；

(2)若与垂直，求．

19．（满分12分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．

(1)求直线的方程；

(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

①角A的平分线所在直线方程为；②边上的中线所在的直线方程为．

若_____，求直线的方程．(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．)

20．（满分12分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

(1)若，，求的斜60°坐标；

(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．

①求的斜60°坐标；

②若，求与夹角的余弦值．

21．（满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为的中点，点F在棱上，且PC=3PF，点G在棱PB上，且．

(1)求证：面；

(2)当时，求点G到平面AEF的距离；

(3)是否存实数，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

22．（满分12分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点．

(1)若P是线段BC的中点，求证：C1P//平面；

(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的最大值．

绵阳南山中学2022级高二上学期10月月考试题

数  学（参考答案）

一、单选题：

二、多选题：

三、填空题：

13.y=x+6           14.          15.60°             16.

四、解答题：

17.【解答】(1)解：因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为；........2分

(2)如图，当点在第一象限时，.

设，则，解得，故点的坐标为；..............................4分

故CD所在直线方程为：，即；            ..............................6分

(3)由题意得为直线的斜率，

当点与点重合时，直线的斜率最小，；

当点与点重合时，直线的斜率最大，；

故直线的斜率的取值范围为，

即的取值范围为.                                  ..............................10分

18.【解答】(1)、，，

，且，

∴存在实数λ，使得

，且，

解得，

或；                                ..............................6分

(2)  ，，

又与垂直，

，

解得或．                                   ..............................12分

19.【解答】（1）因为边上的高所在的直线方程为，

所以直线的斜率，又因为的顶点，

所以直线的方程为：，即；            ..............................4分

（2）若选①，角的平分线所在直线方程为，

由，解得，所以点A坐标为，        ..............................6分

设点B关于的对称点为，

则，解得，即坐标为，         ..............................9分

又点在直线上，所以的斜率，

所以直线的方程为，即．        ..............................12分

若选②：边上的中线所在的直线方程为，

由，解得，所以点，                  ..............................6分

设点，则的中点在直线上，

所以，即，

又点在直线上，所以，              ..............................9分

所以的斜率，所以直线的方程为，

即直线的方程为．                           ..............................12分

20. 【解答】（1）解：由，，

知，，

所以，所以；  ...................3分

（2）解：设，，分别为与，，同方向的单位向量，

则，，，

①，

.                                             ..............................6分

②因为，所以，

则，

∵，                               .............................9分

∴，

所以与的夹角的余弦值为                      ...............................12分

21.【解答】（1）由面面，则，

又且，

可得：面                                         ...............................3分

（2）以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知：，

由可得：，由可得：，

设平面的法向量为：，则，

∴面的一个法向量为，                      ..............................6分

设G(a,b,c)，，则，

∴点G到平面AEF的距离为：，

即点G到平面AEF的距离为．                           ..............................9分

（3）存在这样的.

由可得：，则，

若A，E，F，G四点共面，则在面内，

又面的一个法向量为，

∴，即，可得.

∴存在这样的，使得四点共面.                         ..............................12分

22.【详解】（1）取中点H，连接，则有，如图，

因为中点P，

在等腰梯形中，，有，

则四边形为平行四边形，

即有，又平面，平面，

所以平面.                                       ..............................3分

（2）延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，

过点B作于，

因为平面平面，平面平面，平面，

因此平面，

即为四棱锥的高，在中，，

，

当且仅当时取等号，此时点与重合，

梯形的面积为定值，四棱锥的体积，

于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，，

以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，.....6分

在等腰梯形中，，

此梯形的高，

显然为的中位线，则，

，

设，

则

设平面的一个法向量，则，

令，得，则有                          ..............................9分

，

令，则，

当时，，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值为                                    ...............................12分