四川省成都列五中学2023-2024学年高三数学（文）上学期10月月考试题（Word版附解析）

高2021级数学（文科）答案

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.

【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则，

所以.

故选：A.

2．已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由已知等式求出复数，得到复数，由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.

【详解】由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

3．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化为标准型，利用抛物线的准线方程可得答案.

【详解】因为，所以，所以准线方程为.

故选：A.

4．已知函数，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.

【详解】由题意可得：.

故选：C．

5．已知满足约束条件,则目标函数的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．11 D．无最小值

【答案】A

【分析】作出可行域,将目标函数变为,通过平移直线即可求出的最小值.

【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.

故选:A.

公众号：高中试卷君

6．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.

【详解】显然函数、都是奇函数，AC不是；

当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是；

函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.

故选：D

7．定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】C

【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.

【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，

又函数是偶函数，则，变形可得，

则有，进而可得，

所以函数是周期为4的周期函数，

则.

故选：C.

8．用半径为10cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（    ）

A． B．128 C． D．96

【答案】C

【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可求得答案.

【详解】设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为，

由题意可得，

故圆锥的高为，

故圆锥的体积为，

故选：C

9．下列说法正确的有（    ）

①对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大；

②我校高一、高二、高三共有学生人，其中高三有人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，那么应从高三年级抽取人；

③若数据、、、的方差为，则另一组数据、、、的方差为；

④把六进制数转换成十进制数为：.

A．①④ B．①② C．③④ D．①③

【答案】A

【分析】利用独立性检验可判断①；利用分层抽样可判断②；利用方差公式可判断③；利用进位制之间的转化可判断④.

【详解】对于①，对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大，①对；

对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为，②错；

对于③，记，则，

所以，数据、、、的平均数为

，

其方差为

，③错；

对于④，把六进制数转换成十进制数为：，④对.

故选：A.

10．已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数图象可求出的解析式为，再根据平移规则可得.

【详解】由图象可知，，解得；

由振幅可知；

将代入可得，又，即可得，

因此，

易知，

故选：C.

11．人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ）

A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍

【答案】C

【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.

【详解】∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足，

又∵老师的声音的等级约为63dB，

，解得，即老师的声音强度约为，

∵两人交谈时的声音等级大约为，

，解得，即两人交谈时的声音强度约为，

老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.

故选：C

12．函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将在上的图象每次向右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，得到在上的图象，根据的图象与有四个不同的交点，得到的取值范围.

【详解】先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，

同理得到上的图象，如图：

函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，

由图可知，故.

故选：A．

13．已知等差数列的前n项和为，若，则      ．

【答案】35

【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.

【详解】解：等差数列的前n项和为，，

，

故答案为：35.

14．已知，，则           .

【答案】

【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出，然后根据二倍角公式即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，，

则，

故答案为：.

15．如图，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线方程为      ．

【答案】

【分析】根据圆的性质，结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.

【详解】

设双曲线的标准方程为，

设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，

则，

因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，

故点，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，

所以该双曲线的渐近线方程为．

故答案为：

16．设函数，有下列结论：

①的图象关于点中心对称；    

②的图象关于直线对称；

③在上单调递减；    

④在上最小值为，

其中所有正确的结论是      ．

【答案】②③

【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．

【详解】

，

当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；

当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；

由，得，

当即时，函数单调递减，

则当时，函数单调递减，故③正确；

当时，，可知函数在上单调递增，

∴的最小值为，故④错误．

故答案为：②③．

17．最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

【答案】（1）；（2）列联表见解析，有把握.

【分析】（1）分别计算样本中日平均生产件数不足60件的工人中35周岁以上组工人个数与35周岁以下组工人个数，并分别做好标记，然后利用列举法以及古典概型计算方法可得结果.

（2）分别计算“35周岁以上组”与“35周岁以下组”中的生产能手个数，然后列出表格，并依据公式计算，可得结果.

【详解】（1）由已知得，

样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，

35周岁以上组工人有(人)，记为；

35周岁以下组工人有(人)，记为

从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:

至少有一名“35周岁以下组”工人的可能结果共有7种：

.

故所求的概率:   

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，

“35周岁以上组”中的生产能手(人)，

“35周岁以下组”中的生产能手(人)，

据此可得列联表如下:

所以得:

所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，审清题意，同时识记公式，简单计算，属基础题.

18．已知向量，函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，分别是角的对边，且，，求的周长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简，再利用正弦函数单调性求解作答.

（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.

【详解】（1）依题意，，

由得：，

所以函数的单调递增区间是.

（2）由（1）知，，即，而，

则，于是，解得，

由余弦定理有，即，

解得，

所以的周长为.

19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．

(1)若为线段上动点，证明：；

(2)求点与平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)公众号：高中试卷君

【分析】（1）因为线段上动点，明显要证明平面，利用线面垂直判定定理，分别证明，即可；

（2）利用等体积变换求距离即得.

【详解】（1）  

连接，．

∵为等边三角形，，，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，

又平面，，

，，，

又，平面，平面，，

平面

又平面，

（2）由（1）知平面

平面，∴．

由题意，

∴，，

∴中，，

∴中，，

∴中，由余弦定理得，

设点到平面的距离为，

则即，

，

得，

故点与平面的距离为

20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再将代入椭圆方程，即可求出，进而得出椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为，由点到之间距离公式及勾股定理得出，设，，由直线方程与椭圆方程联立，得出和，代入，设，，由的单调性得出值域，即可求出的范围．

【详解】（1）因为的周长为8，

所以，解得，

将点的坐标代入椭圆方程，得，解得，

所以椭圆E的方程为．

（2）由（1）知圆的方程为，设直线l的方程为，

则圆心到直线l的距离，

由，可得．

设，，联立方程组，

消去x得，

则，，

所以，

设，则，

设，

易知在上单调递增，则在上单调递增，

因为，

所以．

21．已知函数，．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点，，求实数的取值范围；

(3)在（2）的条件下，证明：．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；（2）首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；（3）根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明.

【详解】（1）当时，，

，，，

所以函数在点处的切线方程为，即；

（2）函数的定义域为，

，

当时，恒成立，单调递增，所以不可能有2个零点；

当时，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，当时，，

所以要满足函数有2个零点，只需，

即，

整理得，

设，函数的定义域为，

，所以在定义域上单调递增，

且，则不等式的解集为，

所以的取值范围为；

（3）证明：由（2）知，，则，

要证明，即证明，

不妨设，

因为，所以，

又，函数在上单调递增，

此时需证明，

当，时，

可得，

因为，即证明，

设，函数的定义域为，

，

所以在单调递增，则，

，所以，

又在上单调递增，所以，

即，命题得证.

【点睛】关键点睛：本题考查导数研究函数的性质，不等式，双变量，零点偏移问题，本题第三问的关键是利用分析法转化为证明，再根据，构造函数，即可证明.

22．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，

(1)求E的极坐标方程；

(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；

（2）不妨设，，，，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.

【详解】（1）将，代入曲线E，

得，即，

所以，E的极坐标方程为；

（2）不妨设，，

即，，

则的面积

由于，

令，

则，，

则，

故当时，，