湖北省武汉市武钢三中2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

高二数学月考试卷

一、单选题

1. 关于x的方程，有唯一解，则实数的取值范围是（　）

A. 或 B. 或或

C. 或或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】转化为半圆与直线有唯一交点的问题，然后作图可解.

【详解】方程有唯一解，等价于与的图象有唯一交点，

表示半圆，

当直线与圆相切时，，解得，

当直线分别过点和时，分别为和，

由图可知，实数的取值范围为或或.

故选：B

2. 求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.

【详解】与相减得：，

将代入得：，

即，

设两圆和的交点为，

则，，则，

不妨设，

所以线段的中点坐标为，

因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1，

所以线段的垂直平分线为，

与联立得：，

故圆心坐标为，半径，

所以圆的方程为，

整理得：

故选：D

3. 已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.

【详解】设,则,.

由椭圆的定义可知,所以,所以,.

在△ABF1中,.

所以在△AF1F2中,,

即整理可得：,

所以

故选：C

4. 已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】不妨假设，，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案

【详解】解：设，，则．

∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．

∴，即．

∴．当且仅当时取“=”．

故选：B．

5. 过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.

【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，

则有，两式相减得：，

而，且，即有，

又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，

所以椭圆的方程为.

故选：A

6. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆O与圆内切，解得，由圆O与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的面积，即可求出答案.

【详解】设，则，，以C为坐标原点，

建立如图所示的坐标系，则C（0，0），，，．

设，，则

（圆，外切与勾股定理结合），得，所以．

由圆O与圆内切，得，解得．

同理（圆，外切与勾股定理结合），

得，由圆O与圆内切，得，

解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为，

，

所以．

故选：B.

7. 已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.

【详解】

易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，

设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，

故，整理得，又点在直线上，

故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为

圆心到直线的距离减去半径1，即.

故选：B.

8. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.

【详解】由题设，则线段的中点为，

由三角形重心的性质知，即，解得：

即代入直线，得①.

又B为线段的中点，则，

又椭圆上两点，，

以上两式相减得，

所以，化简得②

由①②及，解得：，即离心率.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

二、多选题

9. 下列四个命题中真命题有（    ）

A. 直线在轴上的截距为-2

B. 经过定点的直线都可以用方程表示

C. 直线必过定点

D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1

【答案】AC

【解析】

【分析】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；

经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故B错误，

当时，可整理为：，恒过定点；

当时，即为，过点；

故直线必过定点，C正确，

直线与直线平行，则，

此时即，也即，

则两平行线间的距离，故D错误.

综上所述，正确的选项是：.

故选：.

10. （多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ）

A. 当时，点P的轨迹不存在

B. 当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3

C. 当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6

D. 当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆

【答案】AC

【解析】

【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可.

【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；

对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；

对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.

故选：AC

11. 椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（    ）

A. 椭圆C的离心率为 B. 的最大值为4

C. 的面积可能为2 D. 的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．

【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；

对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；

对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；

对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，

故选：ABD．

12. 如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆的离心率为的有（    ）

A.

B.

C. 轴，且

D. 四边形的内切圆过焦点，

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知结合两点之间的距离公式知，进而判断A；由已知结合勾股定理构造齐次式计算离心率可判断B；由已知结合两点连线的斜率公式可得 ，进而求得离心率判断C；由已知可知四边形的内切圆的半径为c，利用等面积法及构造齐次式可判断D.

【详解】由椭圆，

可得，，

对于A，，即，化简得，即，不符合题意，故A错误；

对于B，，则，即，

化简得，即有，解得（舍去），符合题意，故B正确；

对于C，轴，且，所以，由，可得，

解得，又，所以，不符合题意，故C错误；

对于D，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c，

则，结合，即，解得（舍去）或即，符合题意，故D正确；

故选：BD

三、填空题

13. 经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为______．

【答案】或或

【解析】

【分析】讨论截距是否为0，结合截距式及点在直线上求直线方程即可.

【详解】若截距都为0，即直线过原点，则直线方程为；

若截距不为0，令直线为或，

当，则，故直线方程为；

当，则，故直线方程为；

综上，直线方程为或或.

故答案为：或或

14. 若椭圆的焦距为6，则k的值为______．

【答案】31或49##49或31

【解析】

【分析】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求.

【详解】因为椭圆的焦距为6，所以c＝3．

当椭圆的焦点在x轴上时，因为，，所以，解得k＝31；

当椭圆的焦点在y轴上时，因为，，所以，解得k＝49．

综上所述，k的值为31或49．

故答案为：31或49

15. 已知直线，则当实数___________时，.

【答案】

【解析】

【分析】根据两直线平行的条件列方程求解的值即可.

【详解】若，则，解得或，

当时，和重合，舍去，所以.

故答案：.

16. 已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求△中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.

【详解】由△外接圆的面积为，则其外接圆半径为.

∵△是以为底边的等腰三角形，设，则，

∴，得，

∴或.

不妨设点在轴下方，由△是以为底边的等腰三角形，知：或

又根据点差法可得，有，而此时焦点在轴上，舍去)

∵为椭圆的右焦点，

∴，故椭圆的长轴长为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a.

四、解答题

17. 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点．

（1）求满足条件的椭圆方程；

（2）求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．

【答案】（1）   

（2）长半轴的长为，顶点坐标为、、、，离心率为．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解椭圆方程；（2）根据椭圆的几何性质求解.

【小问1详解】

设椭圆的标准方程为，

则

所以椭圆的标准方程为

【小问2详解】

由（1）知，椭圆的长半轴长为，

顶点坐标为、、、，

离心率.

18. 已知圆过点，，且圆心在直线：上.

（1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.

（2）若点在直线上运动，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）20

【解析】

【分析】（1）根据点关于线的对称，求解，由几何法求圆心坐标，进而根据两点坐标即可求解直线方程，

（2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

点关于直线的对称点，

解得，所以，

由于圆过点，，因为圆心在直线：：上，

垂直平分线的方程为，联立与得圆的圆心：   

则反射光线必经过点和点，，

由点斜式得为：，：，

【小问2详解】

设点，则，则又

，

故当时，的最小值为20．

19. 如图所示，四棱锥 的底面是平行四边形，分别是棱的中点.

（1）求证: 平面;

（2）若 ，求二面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证明是平行四边形，所以有，从而根据线线平行得到线面平行.

（2）先证明，从而得到是二面角的平面角，再根据线段数量关系求正切值即可.

小问1详解】

证明: 取 中点，如图所示.

分别为中点，

，且，

又是平行四边形，

，且，

所以，且，

所以是平行四边形，所以，

因为 平面平面，

所以平面.

【小问2详解】

因为 ，所以，

因为 ，且平面平面，

所以 平面.

取中点，（如上图），因为，

所以 ，因为平面平面，

所以 ，而平面，

所以平面平面，

所以 ，所以是二面角的平面角.

设，

因为 ，所以，

所以.

20. 已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.

（1）若求圆心的轨迹的方程.

（2）若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）设动圆的半径为，由圆与圆的位置关系分析可得，由椭圆的定义分析可得轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹的方程，即可得答案；

（2）设，，联立直线与椭圆的方程可得，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案．

【小问1详解】

解：设动圆的半径为，

依题意有，，．

所以轨迹是以，为焦点的椭圆，

且，，所以，

当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．

所以轨迹的方程．

【小问2详解】

解：设，，

联立直线与椭圆的方程，可得，

所以，，，得，

设原点到直线的距离为，

所以，

所以，

令，则，

所以，当且仅当时，等号成立，

即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．

21. 已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.

（1）求的方程；

（2）过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由已知条件列方程组，结合，解出，可得椭圆的方程；

（2）设，且满足圆的方程，设出过点与椭圆相切的直线方程，与椭圆方程联立，利用得出关于的一元二次方程，由韦达定理得出，进而可求出为定值．

【小问1详解】

设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.

【小问2详解】

设，则.①

设过点与椭圆相切的直线方程为，

联立得，

则，

整理得.②

由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.

又因为，所以，所以为定值．

22. 在平面直角坐标系xOy中，①已知点，G是圆E：上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于点P；②点S，T分别在x轴、y轴上运动，且，动点P满足．

（1）在①，②这两个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（2）设圆O：上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点．若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）以MN为直径的圆过定点（0，0）.

【解析】

【分析】（1）根据所选条件，结合椭圆定义、向量线性关系坐标表示得到参数关系，进而得到轨迹方程；

（2）讨论切线的斜率存在性，联立直线和椭圆，消元后利用根与系数的关系，利用题设已知条件化简目标式，从而得到定点的坐标．

【小问1详解】

选①，由E：，得，

所以圆E的圆心为，半径为．

由题意得，所以，

所以P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆且，，故，

所以动点P的轨迹C的方程为．

选②，设，，，则．（*）

因为，所以，即，

将其代入（*）式，得，

所以动点P的轨迹C的方程．

小问2详解】

当过A且与圆O相切的切线斜率不存在，切线为．

当切线为时，不妨设，，

以MN为直径的圆的方程为．①

当切线为时，不妨设，，

以MN为直径的圆的方程为．②

联立①②，解得两圆的交点为（0，0）．

当过A且与圆O相切的切线斜率存在，设切线为，则，故．

联立切线与椭圆C的方程，消去y，得．

因为

，

所以切线与椭圆C恒有两个交点．

设，，则，，

因为，，

所以

，

所以，则以MN为直径的圆过原点（0，0）．

综上，以MN为直径的圆过定点（0，0）．