湖北省武汉市武钢三中2024届高三下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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1. 数据的第15百分位数为（）
A. 69B. 70C. 75D. 96
2. 抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（）
A. B. C. 相互独立D. 互斥
3. 已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
4. 在中，，，则（）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
6. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（）附：若，则，
A. B. C. D.
7. 已知实数满足，记，则的最大值是（）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18.0分．
9. 设是全集，定义，对的真子集和，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（）
A B.
C. D. 的最大值为
11. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，共15.0分．
12. 已知集合，集合，则以集合为定义域，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答）
13. 已知复数满足，则的最小值为_______.
14. 已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77.0分．
15. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式及其图象的对称轴方程；
（2）若函数在上的零点为、，求的值．
16. 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

（1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
（2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD距离．
17. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.
（1）任取一个零件，计算它是次品概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望.
18. 已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点．

（1）当时，求四边形的面积；
（2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；
（3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．