云南省部分名校2024届高三上学期10月联考数学试题

高三数学考试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．的虚部为（    ）

A．1 B．i C．3 D．

2．已知集合，，若，则（    ）

A．3 B．2 C．1或2 D．1

3．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．若是函数的极值点．则（    ）

A．－4 B．－2 C． D．

5．卢卡斯数列满足，．且的前6项和．则（    ）

A．29 B．47 C．76 D．123

6．如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．在平面直角坐标系xOy中，点，若直线：上存在点M，使得，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具．即“人均GDP”．常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标．是最重要的宏观经济指标之一．在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示．则（    ）

A．2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增

B．2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201

C．这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828

D．这10年的人均国内生产总值的平均数不小于59592

10．已知函数，则（    ）

A．当时． B．当时，

C．当时，  D．当时，

11．已知函数．且，，则下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．的图象关于点对称

C．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

D．若，，则

12．已知正方体的棱长为2，P是正方体所在空间内一点，下列结论正确的是（    ）

A．若，则的最小值为

B．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为

C．若，则三棱锥的表面积为

D．若，则直线与BP所成角的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．从2名男生，4名女生中任选3人参加活动，则男生、女生都有人被选中的选法共有______种．（用数字作答）

14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．

15．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则______．

16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在正项等比数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）

如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，是AB的中点．

（1）证明：．

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角的值；

（2）若的面呮为，边上的中线长为1，求的值．

20．（12分）

某公司有A，B，C，D，E五辆汽车，其中A车的车牌尾号为1，B车的车牌尾号为2，C车的车牌尾号为5，D车的车牌尾号为9，E车的车牌尾号为8．已知在车辆限行日，车辆禁止出车，在非车辆限行日，每辆车都有可能出车或不出车，且A，B，C三辆汽车在非车辆限行日出车的概率均为，D，E两辆汽车在非车辆限行日出车的概率均为，且五辆汽车是否出车相互独立．该公司所在地区汽车限行规定如下：

（1）求星期三该公司恰有两辆车出车的概率；

（2）求星期一该公司出车数量的分布列和期望．

21．（12分）

已知抛物线：的焦点为，是上一点，其中，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与相交于P，Q两点，若，求的值．

22．（12分）

已知函数，．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围．

高三数学考试卷参考答案

1．C  ，虚部为3．

2．D  因为，所以，或．当时，，集合B中的元素满足互异性，符合条件．当时，，集合B的元素不满足互异性，不符合条件．当时，，，集合B的元素不满足互异性，不符合条件．

3．A  若曲线表示双曲线，则，解得或．故“”是“曲线表示双曲线”的充分不必要条件．

4．D  ，因为是的极值点，所以，解得．经检验，知当时，是的极值点，则．

5．C  设，则，，，，，则，即，则，，，．

6．B  如图，灯罩的轴截面为等腰梯形ABCD，其中，分别是灯罩上、下底面圆的圆心，是灯罩外接球的球心，则，，，设，则，解得，则灯罩外接球的半径，体积．

7．B  设，由，可得，整理得，则直线：与圆有公共点，则，即，解得或．

8．A  ，则，，则．因为，所以，因为，所以．又，，所以，故．

9．ABD  由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确．2013年至2022年人均国内生产总值的极差为，B正确．因为，所以这10年的人均国内生产总值的分位数是，C不正确．由图中数据分析可知，这10年的人均国内生产总值的平均数不小于，D正确．

10．BC  ，令函数，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故．当时，，即；当时，，即．

故选BC．

11．BCD  ，其中．因为，，所以，，则，，，．当时，，不单调，A不正确．

当时，，故的图象关于点对称，B正确．

，所以将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，C正确．

，则．因为，所以．

由，得，所以，，D正确．

12．ABD  对于A选项，在AB上取点H（图略），使得，在CD上取点K，使得，则由，得，即，故P是线段HK上一点．将平面沿HK展开至与平面AHKD共面，此时，当，P，D三点共线时，取得最小值，A正确．对于B选项，由，可知P是线段BD上一点．连接AC并与BD交于点Z（图略）．当P与D重合时，平面与平面重合，不符合题意．当P在线段DZ（不含点D）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当P与Z重合时，截面面积最大，最大值为．当P在线段BZ（不含点B，Z）上时，延长AP并与BC交于点W，作并与交于点R（图略），则截面为等腰梯形，设，则，．梯形的高，面积为．当P与B重合时，截面为矩形，面积为．

故平面截正方体所得截面积的最大值为，B正确．

对于C选项，因为，所以P为的中点，三棱雉的表面积为，C不正确．对于D选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，．因为，所以，所以直线与BP所成角的最小值为，D正确．

13．16  由题可知，男生、女生都有人被选中的选法共有种．

14．或  因为，所以，则，，则与的夹角为．

15．－1  因为是定义在上的偶函数，且，所以，故是以8为周期的函数，则．令，则，则，所以，即．

16．  如图，由的面积是面积的2倍，可得，

不妨设，，，则，．

在中，由，得，

整理得．

在中，由，

得，整理得，则，

整理得，即．故的离心率为．

17．解：（1）设的公比为，则．

由，，得，解得．

，则，

故．

（2）由（1）可知，

则是以1为首项，2为公差的等差数列，

故．

18．（1）证明：取AD的中点，连接EF，PF，BD，因为是正三角形，所以．

又平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD．

因为平面ABCD，所以．

因为是AB的中点，所以．

又底面ABCD是菱形，所以，从而．

因为，所以平面PEF．

因为平面PEF，所以．

（2）解：连接BF，因为，所以是正三角形，所以．

以F为坐标原点，FA，FB，FP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

令，则，，，

则，．

设平面CEP的法向量为，则

令，得．

由题可知，是平面ACE的一个法向量．

，

由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．

19．解：（1）因为，所以．

又，

所以，

整理得．

因为，所以，即．

又，所以．

（2）因为的面积为，所以，则．

设边BC的中点为D，则，且，

则，

则，则．

在中，，则．

20．解：（1）由题可知，星期三禁止出车的车辆为E，可以出车的车辆为A，B，C，D，

则星期三该公司恰有两辆车出车的概率．

（2）由题可知，星期一禁止出车的车辆为A，可以出车的车辆为B，C，D，E．

记星期一该公司出车的数量为X，则X的取值可能为0，1，2，3，4．

，

，

，

，

．

故X的分布列为

．

21．解：（1）由题可知，

解得，或（舍去）．

故抛物线C的方程为．

（2）设的方程为，，，

联立方程组，整理得，

则，．

，

，，

则，

由，得，

整理得．

因为，所以，即．

22．解：（1）因为，所以，

则．

又，所以曲线在处的切线方程为，

即．

（2）在上有且仅有一个零点，等价于方程在上有且仅有一个实数根．

令函数，，

则．

令函数，则在上恒成立，则在上单调递减．

故当时，，

从而在上恒成立，则在上单调递减．

显然，当时，，因为，所以的值域为，

故a的取值范围为．