新高考数学二轮培优精讲精练专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类（含解析）

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专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；
（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．
【核心考点目录】
核心考点一：轨迹方程
核心考点二：向量搭桥进行翻译
核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译
核心考点四：斜率之和差商积问题
核心考点五：弦长、面积范围与最值问题
核心考点六：定值问题
核心考点七：定点问题
核心考点八：三点共线问题
核心考点九：中点弦与对称问题
核心考点十：四点共圆问题
核心考点十一：切线问题
核心考点十二：定比点差法
核心考点十三：齐次化
核心考点十四：极点极线问题
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【解析】（1）设是椭圆上任意一点,,
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
（2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则


，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
      由M、D、A三点共线，得，
      由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【解析】（1）设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
5．（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．

【方法技巧与总结】
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
【核心考点】
核心考点一：轨迹方程
【规律方法】
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线方程；
(2)过点的直线与双曲线交于异支两点，求点的轨迹方程.
【解析】（1）由渐近线为知，①，又焦点到渐近线的距离为，即到直线的距离，所以，②，联立①②，解得，，则双曲线方程为.
（2）因为直线与双曲线交于异支两点，所以直线的斜率必存在，且经过点，可设直线，与双曲线联立得：，
设，则有解得，
由知，
两式相除得，即代入得，
又，所以，
所以点的轨迹方程为.
例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点的直线交曲线于A，B两点．
(1)若直线的倾斜角为，求；
(2)若线段的中点为，求点的轨迹方程．
【解析】（1）由题得l方程为：，将其与联立有
，消去y得：，解得或.
则令A，B，则=.
（2）由题，直线存在，故设l方程为：.
将其与联立有：，消去y得：
因l与双曲线有两个交点，则，
得且.设.
又设M坐标为，则.
因A，B在双曲线上，则有.
又M，在直线l上，则.
故
由韦达定理有，，.
则M坐标为.
又，且，则或.
综上点的轨迹方程为：，其中.
例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
【解析】（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形，
所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且，
进而动点的轨迹方程为
（2）设两切线为，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
化简，，
进而，
所以
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，
②当与轴垂直或平行时，与轴平行或垂直，
可知：点坐标为：，
点坐标也满足，
综上所述，点的轨迹方程为：．
（3）动点的轨迹方程是
以下是证明：
设两切线为，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，
得，
化简，，
进而，
所以
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，
②当与轴垂直或平行时，与轴平行或垂直，
可知：点坐标为：，
点坐标也满足，
综上所述，点的轨迹方程为：．
核心考点二：向量搭桥进行翻译
【规律方法】
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【典型例题】
例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由题可知
解得
故椭圆的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，
由，，得，
同理，当,时，得，所以，
当直线l的斜率存在时，即时，
设直线的方程为，
联立
消去y得.
因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，
所以，
即①.
设，
则②，
则，
由，得③，
③代入②得，
化简整理得④，
将④代入①得，
化简得，
解得或.
综上，m的取值范围为.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点、之间的距离为，
所以，因为椭圆的离心率，所以有，而，
因此组成方程组为：；
（2）设的方程为，与椭圆的标准联立为：
，
于是有，此时设，
于是有，
假设存在常数，使得与共线，
因为，，
所以有，
，因为，
所以，不满足，
因此不存在常数，使得与共线.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求b的值；
（2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围．
【解析】（1）由，点A为曲线与曲线的交点，
联立，解得，；
（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，
由双曲线的定义可得，
又，，
所以，
因为，则，
所以，
在中，由余弦定理可得

，
由，可得；
（3）设直线，可得原点O到直线l的距离，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以，并设与圆联立，
可得，
可得，，即，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，
由，可得，
所以有，解得或舍去，
因为为在上的投影可得，，
所以，
则．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．
【解析】（1）设C的焦距为，则，
即，，；
由双曲线的定义，得，即，
所以，故C的方程为．
（2）设，，，显然直线AB的斜率存在，
可设直线AB的方程为，代入，
得．
由过点的直线与C交于两点A，B，得，
由韦达定理，得，；    ①
由在直线上，得，即；    ②
由在直线AB上，得．        ③
由，得，
即解得．同理，由，得，
结合①②③，得

．故是定值．
核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译
【规律方法】
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．
【典型例题】
例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.
【解析】（1）由题意知，，得，
当轴时，设，
代入椭圆方程，得，解得，即，
由椭圆的定义知，，又，
所以，由，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为，此时点P与点Q重合，等式成立；
当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；
当切线斜率存在时，设，
由，得，则，
所以切线的斜率为，得切线方程为，
即，
整理得，
即，所以切线方程为，
令，得，即，
由(1)知，，
则，
，
又，得，
所以，
，
所以，即，即证.
例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆：的离心率为，直线过C的焦点且垂直于x轴，直线被C所截得的线段长为.
(1)求C的方程；
(2)若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上，，，求的面积.
【解析】（1）不妨设直线过的右焦点，则直线的方程为，
由，解得，故①，
由于椭圆的离心率②，
由①②解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得，设，
，由于，所以，
所以直线的方程为，
由，消去并整理得，
解得，
由于，所以，则，
，解得.
所以，
而.

例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线上一点，直线交于，点.
(1)证明：直线与直线的斜率之和为定值；
(2)若的外接圆经过原点，求的面积.
【解析】（1）证明：设，，
联立得，
则，又，所以，
所以、，
从而

为定值.
（2）设的中点为，外接圆的圆心为，由，则
所以，
所以的中垂线方程为，即，
又，的中点为，
所以的中垂线方程为，即，
联立解得，即，
由，
得
，
整理得，解得（舍去），，
所以直线：，
过作轴的平行线交直线于点，令则，即，
而
，
所以.

核心考点四：斜率之和差商积问题
【规律方法】
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【典型例题】
例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到点和直线的距离之比恒为．
(1)求曲线C的方程；
(2)记曲线的左顶点为A，过的直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q均在y轴右侧，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点．若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设曲线C上一点的坐标为 ，依题意有 ，化简得： ；
（2）

依题意作上图，设PQ方程为 ， ，则m必定是存在的，
联立方程 得 ，
，

AP的方程为 ，令x=0，则M点的坐标为 ，
同理，N点的坐标为 ，

，是定值；
综上，曲线C的方程为， 是定值.
例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C：，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．

(1)若线段AB的长为5，求直线的方程；
(2)在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线的焦点为，因为直线的斜率不为0，所以可设的方程为，
设，联立消，得，方程的判别式，，
，，
∴，∴，设直线的斜率为，则，所以，所以直线的方程为；
（2）设，，
，同理， ，又联立可得，即点的坐标为，
所以，
∵直线的斜率始终成等差数列，所以恒成立；
∴，又∵，
所以，，，因为，所以，
所以存在点或，使得对任意直线，
直线的斜率始终成等差数列．
例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.
【解析】（1）依题可得解得
所以椭圆的方程为；
（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，即，
而，即，
化简可得，
，

化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
所以直线的方程为，易知，
设定点


，
因为，且，
所以，所以，
设，
所以，
当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.
例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是上一点.
(1)求的方程.
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.
【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为，是椭圆上一点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）①因为过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，方程的判别式，设，，则
，.
两式相除得
，．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．
从而；
②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.
核心考点五：弦长、面积范围与最值问题
【规律方法】
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于，有以下三种常见的表达式：
①（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②（横截距已知的条件下使用）
③（纵截距已知的条件下使用）
【典型例题】
例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点与椭圆交于不同两点，.

(1)已知经过椭圆的左焦点，求的方程；
(2)证明：直线与直线交于点;
(3)求线段长的取值范围.
【解析】（1）的左焦点为，当过左焦点时，的方程为，
即.
（2）由题意知斜率存在，设直线，
则，
联立，消得，需满足，即 ，
，
又，
，
，
，故点，，三点共线，即直线经过点，
同理可证,即点，，三点共线，即直线经过点，
故直线与直线交于点;
（3）由（2）可知



令，则，
又由得，所以，
，
设 ，时，恒成立，
在上单调递增，，，
，，.
例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 ​中， 已知椭圆​， 椭圆​​.设点​为椭圆​上任意一点， 过点​的直线​交椭圆​于​两点， 射线​交椭圆​于点​.
(1)求 ​的值；
(2)求 ​面积的最大值.
【解析】（1）设 ​， 由题意知​.
因为 ​， 又​， 即​， 所以​，
即 ​.
（2）由(1)知，的​面积为​，
设 ​.
将 ​代入椭圆​的方程， 可得​，
由 ​， 可得​，①
则有 ​. 所以​.
因为直线 ​与​轴交点的坐标为​，
所以​的面积​
​.
设 ​， 将​代入椭圆​的方程，
可得 ​，
由 ​， 可得​，②
由 (1)(2)可知 ​， 因此​， 故​， 当
且仅当 ​， 即​时取得最大值​.
所以面积的最大值为​.
例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于四点，如图，求四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
所以，即，
又因为直线与圆相切，
所以结合解得，
所以椭圆.
（2）(i)若垂直于轴，则与轴重合，
由解得，所以，
又因为
同理垂直于轴，则与轴重合时.
(ii)若都不与轴平行或垂直，
设直线，
得：
与椭圆相交于两点，
则，


当时，直线，
将的替换为可得，

，
因为，所以，
当且仅当，即时“=”成立，

综上
所以四边形的面积的取值范围为.
核心考点六：定值问题
【规律方法】
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【典型例题】
例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率是2，直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于点，试问点是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为过点的垂直与的直线方程为，代入双曲线方程可得，所以此时，又直线垂直于轴时，，所以①，因为双曲线的离心率为2，所以②，又③，由①②③解方程可得，故双曲线的标准方程为；
（2）由（1）可知，
若直线的斜率为0，则直线与双曲线的右支只有一个交点，不满足要求，
所以直线的斜率不为0，设直线，
联立整理得，
，且，
则，故.
由题意可得直线的方程为，直线的方程为，
则，
即，
把代入上式，
得，
解得.
故点在定直线上.
例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，)，直线，相交于点Q．证明：点Q在一条平行于x轴的直线上．
【解析】（1）由题可知，，，，

为等腰直角三角形，，
又直线与圆相切，所以原点O到直线的距离为1，
直线的方程为，即，所以，
解得，
又，所以椭圆C的标准方程为．
（2）

由过的直线l不过，，可设其直线方程为，
把代入，得，，即，
设，，则，，
直线的方程为，
直线的方程为
设直线和的交点为，则，
把及代入上式，得
，
整理得，
故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证．
例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆过点为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，求的值.
【解析】（1）因为椭圆过点为，
所以有；
（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
，
因为，，
所以，
因为，
所以，
即，
于是有，即.
核心考点七：定点问题
【规律方法】
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
【典型例题】
例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线（其中）的焦点为，点、分别为抛物线上两个动点，满足以为直径的圆过点，设点为的中点，当时，点的坐标为．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线、与抛物线的另一个交点分别为、，点、分别为、的中点，证明：直线过定点．
【解析】（1）因为以为直径的圆过点，则，
当点为的中点时，，则，此时为等腰直角三角形，
又点、在轴上，则轴，所以，
，，点在的右侧，所以，
由抛物线的定义知，所以，，
解得，故抛物线的方程为．
（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线与轴也不重合，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程得，，
设、，则，，
所以，同理可得，
当时，，
所以直线的方程为，化简得，
当时，，直线过定点．
当时，直线的方程为，直线必过点，
综上所述，所以直线过定点．
例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E、F两点（E、F两点与A、B两点不重合），且以EF为直径的圆过椭圆C的右顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）由题可知,直线的方程为,即,
∴右焦点F到直线的距离为
又∵椭圆C的离心率为,即代入上式得，所以.
∴椭圆C的方程为.
（2）由得：.
由得：.
设，椭圆的右焦点为，则，
因为以EF为直径的圆过椭圆C的右顶点，所以，所以，即，
代入化简得：，
解得：，皆满足.
当时，直线的方程为过点，不符合题意.
当时，直线的方程为过点，符合题意.
综上：直线l过定点.
例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆与圆及圆中的一个外切，另一个内切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹相交于、两点，以线段为直径的圆经过轨迹与轴正半轴的交点，证明直线经过一个不在轨迹上的定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）依题意，，，
当动圆与圆A外切且与圆内切时，有，即，
当动圆与圆A内切且与圆外切时，有，即，
即，
动圆的圆心的轨迹是以A、为焦点的双曲线，其中，，
轨迹的方程为；
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
由得，
由，得，
且，
依题意，以为直径的圆经过点，
，且，
，
，
即，
，
化简，得，即，
或，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点即是点，不符题意，舍，
当时，直线的方程为，直线过定点，符合题意，
当直线的斜率不存在时，设的方程为，
由解得，
依题意，以为直径的圆经过点，，即，
，即，
解得（舍或，
的方程为，直线过点，
故直线经过一个不在轨迹上的定点，定点的坐标为．
核心考点八：三点共线问题
【规律方法】
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．
【典型例题】
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【解析】（1）根据对称性，不妨设到直线的距离为，
则，
令，则，解得，
所以当轴时，，则.
故的方程为.
（2）设.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
由，得，则
设，因为三点共线，所以，整理得.
因为，
所以，即直线AN的斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：、、三点共线.
【解析】（1）将点的坐标代入椭圆的坐标可得，
由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）椭圆的左、右顶点分别为、，
设点，则，则，

直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，即点，
设点，由，可得，
直线的斜率为，则直线的方程为，
将代入直线的方程得，
所以点的坐标为，
直线的斜率为
直线的斜率为，
又、有公共点，因此，、、三点共线.
核心考点九：中点弦与对称问题
【规律方法】
对于中点弦问题常用点差法解决．
【典型例题】
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左右顶点，点C在E上，且面积的最大值为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．
【解析】（1）由椭圆的性质知当点C位于短轴顶点时面积最大．
∴，解得，
∴椭圆的方程为；
（2）如图所示，
设，，，线段的中点；
则，，
由（1）可得，则直线DF的斜率为；
当时，直线的斜率不存在，由椭圆性质易知平分线段，
当时，直线的斜率；
∵点M，N在椭圆E上，∴，整理得：，
又，，
∴，直线OP的斜率为，
∵直线OD的斜率为，
∴所以三点共线，即直线OD平分线段MN．

例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，则
∵在椭圆上，则
两式相减得，整理得
∴，即，则
又∵点在椭圆C：上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON
∵，则，即
由（1）可得，则，即直线
联立方程，解得
即
∵，则在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称

例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，（）两点.

(1)若，求的值；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
【解析】（1）因为准线为，所以．
（2）设直线的方程，联立可得，，所以，，，而是线段的中点，所以，解得：，即，解得：，所以直线的方程为，即．
（3）直线的方程，设，，，则，，
联立可得：，由，，代入解得：
，
所以直线与的交点在定直线上．
核心考点十：四点共圆问题
【规律方法】
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【典型例题】
例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点在抛物线上，过动点作抛物线的两条切线，切点分别为､，且直线与直线的斜率之积为.
(1)证明：直线过定点；
(2)过､分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为､，问：是否存在一点使得､､､四点共圆？若存在，求所有满足条件的点；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）法一：将代入抛物线方程得到，所以抛物线方程为，求导可得，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，即；
设，，直线方程为，由题意得，所以，联立直线和抛物线得得，所以得，
所以的直线方程为，直线过定点；
法二：将代入抛物线方程得到，所以抛物线方程为，
设，过的直线方程为，联立
得，
得，由，
切点横坐标为，所以
联立直线和抛物线得得，所以得，
所以的直线方程为，直线过定点；
（2）联立直线和抛物线得得①
可知，，
设，，直线方程为：，直线方程为：，
联立解得，所以，所以在直线上运动，
假设存在点使得､､､四点共圆，则，所以，
因为，可得，解得，
不合题意，所以不存在点使得､､､四点共圆.
例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，交于点.过抛物线上一点（在下方）作切线，交于点.

(1)当时，求面积的最大值；
(2)证明四点共圆.
【解析】（1）当时，由题知，，
设，对于抛物线，即，
所以，过抛物线上一点的切线的斜率为，即直线的斜率为，
过分别作抛物线的切线的斜率分别为，
所以，方程为：，的方程分别为，
所以，联立方程得，
联立方程得，
所以，
因为，所以互相垂直，即互相垂直，
所以， ，当且仅当时等号成立，
所以，面积的最大值为.
（2）联立方程，解得，设，
对于抛物线，即，
所以，同（1），根据导数几何意义得：，
所以，根据抛物线的对称性可知的交点在轴上，且
联立方程，解得：，
联立方程，解得，
设与交于点，得：，
所以，，，， ，
所以
所以，根据圆幂定理，得四点共圆
例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲线C的标准方程为；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l：，将直线l与曲线C联立，得，
消去y，整理得，
因为且，
所以且，
设，，
则，，
所以MN的中点，
且，
将，代入上式，
整理得，
当时，线段MN的中垂线方程为：，
令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
因为且，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
核心考点十一：切线问题
【规律方法】
（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．
（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．
（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于点（点在点的上方）．

(1)求证：直线的斜率乘积为定值；
(2)过点分别作椭圆的切线，设两切线交于点，证明：．
【解析】（1）由椭圆方程知：，；
由题意知：直线斜率不为，则可设，，，
由得：，，，
，
即直线的斜率乘积为定值.
（2）椭圆在轴下方部分的方程为：，
，
在处的切线斜率，又，，
，
在处的切线方程为，
整理可得：；
同理可得：处的椭圆的切线方程为：；
由得：，
则可设，，即直线方程为，其斜率；
又直线斜率，，即.
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，，求证：为定值
【解析】（1）由题意得：，所以，
又因为点在椭圆上，所以，
可解得，，
所以椭圆标准方程为．
（2）证明：由题意：，
设点，，，，，，
因为，不在坐标轴上，所以，
直线的方程为，
化简得：，①
同理可得直线的方程为，②
把点的坐标代入①、②得，
所以直线的方程为③，
令，得，令得，
所以，，又点在椭圆上，
所以，
即为定值．
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，
椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，
，解得，，
椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，
联立，消去，得，
由，得，
直线，的斜率分别为，，，
为定值．
核心考点十二：定比点差法
【典型例题】
例36．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求
【解析】由，可设椭圆为（），
设，，，由，
所以，．
又
由（1）-（3）得，
又．
又．
例37．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．
【解析】设，，，由，
所以．
由
由（1）-（3）得：
，又，
又，从而．
例38．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．
【解析】设，，，，由，得
①满足
满足
②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得
．
核心考点十三：齐次化
【典型例题】
例39．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．
【解析】直线
由，得
则由，得：，
整理得：，即：．
所以，
则，即：．
例40．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则．
由，
得：．
则，
故．
所以．
即．
例41．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．
【解析】设直线．．．．．．（1）
由，得
即：．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
则，
则，代入直线，得：
显然，直线过定点．
核心考点十四：极点极线问题
【典型例题】
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，
又，．
因为，所以，，
所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：设直线，，，
，可得，
所以．
直线AM的方程：①
直线BN的方程：②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得．
因为，
所以
所以点Q在直线上．
解法二：设，，，两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三点共线，有：①
又B，N，Q三点共线，有②将①与②两式相除得：


即，
将即
代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）
所以Q在定直线上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.
例43．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与轴的交点（点A位于点的上方），为左焦点，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【解析】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率.
（2）若，由(1) 得，椭圆方程为，
联立方程组化简得：，
由，解得：.
由韦达定理得：,,
设，的方程是
，的方程是，
联立化简得，即，
所以直线与直线的交点在定直线上.
【新题速递】
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ，PF为直径作圆和圆，且圆和圆交于P，R两点，且.

(1)求动点的轨迹E的方程；
(2)若直线：交轨迹E于A，B两点，直线：与轨迹E交于M ，D两点，其中点M在第一象限，点A，B在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.
【解析】（1）设点,因为,
由正弦定理知,
所以,解得,
所以曲线的方程为.
（2）直线与曲线在第一象限交于点,
因为,所以,
由正弦定理得:,
所以.
设，
所以,
得,所以，
所以直线方程为:,联立，
得
由韦达定理得,
又因为点在直线的上方,所以,所以,
所以,
又因为点到直线的距离为,
所以
方法一：令,则,
所以当时,单调递增,
当时,单调递减,所以，
所以当时,面积最大,此时最大值为.
方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:
，
当且仅当,即时,等号成立.
2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，其离心率为，一个焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围．
【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率，
因为一个焦点为，所以，则，
由可得：，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，
联立方程组，整理可得：，
则有，
由条件可知：直线所在直线方程为：，
因为直线与直线相交于
所以，同理可得：，
则，
若为锐角，则有，
所以


，则，解得：或，
所以或或，
故直线斜率的取值范围为.
3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.
【解析】（1），
，则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）设，令，则.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值2，即.
，当且仅当时，等号成立，取得最小值2.
因为，所以，得.
即，
所以直线的方程为，即.
4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，．

(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点作斜率的直线l交椭圆于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使，记四边形的面积为，求的最大值．
【解析】（1），∴，
，，又，
解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2），∴，椭圆，
令，直线l的方程为：，
联立方程组： ，消去y得，
由韦达定理得，，
有 ，
因为：，所以， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，
而此时： .
令，所以直线 ，
令得 ，
由韦达定理化简得，
，而， O点到直线l的距离， 所以：，
，，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得，即
令 ，求导得 ，
当 ，即时，，单调递增； 当 ，即时，，单调递减.
所以： ，即 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.
设，显然，令，，则，则
，，
由得，解得，同理.
联立，得
.
，从而（定值）
（2）

结合图象，不妨设，，，，
由得
代入，有，则，
解得
，，
设，则，设，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
且，则，则.
6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程.
【解析】（1）由已知得，解得，
，
所求椭圆的方程为；
（2）由（1）得.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得.
设，
，这与已知相矛盾.
②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，
设，联立，
消元得，
，
，
又，
，

化简得，
解得或（舍去）

所求直线的方程为或.
7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，求的取值范围；
(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.
【解析】（1）设的坐标分别为，其中；
由题意得的方程为.
因为到直线的距离为3，
所以解得，所以 ①
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即  ②
联立①②解得: ,
所求椭圆D的方程为.
（2）由（1）知椭圆的方程为，设，
因为，所以
所以，代入椭圆的方程，
所以，解得或.
（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，
把它代入椭圆的方程，消去整理得：
由韦达定理得则，；
所以线段的中点坐标为.
（i）当时，则，线段垂直平分线为轴，
于是，由解得.
（ii）当时，则线段垂直平分线的方程为.
由点是线段垂直平分线的一点，令，得；
于是
由，
解得，所以.
综上可得实数的值为.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为，点在椭圆上，直线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值.
【解析】（1）由题意，，设，
，由题意可得，
即，可得
又，所以，解得
所以，椭圆的方程为；
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且

联立，得
由，得，
所以，
设，由三点共线可得





所以，直线的斜率之积为定值.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【解析】（1），，
椭圆半焦距长为，，，
，
动点到定直线与定点的距离相等，
动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，
轨迹的方程是；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设，
，
，则，
切线的方程为：
同理，切线的方程为：
联立方程组可解得的坐标为，
在抛物线外，
，，

同理


10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），右焦点F（1,0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题意知，，则，又，所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得，所以，联立可得，所以，所以四边形ADBC的面积．
②当两条直线的斜率均存在且不为0时，
设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程，整理得
，方程的判别式，设，
所以，
∴，，
同理可得，
∴四边形ADBC的面积
，
∵，当且仅当时取等号，
∴四边形ADBC的面积，
综上①②可知，四边形ADBC的面积的取值范围为．
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．

【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则
,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知，由韦达定理得,则




所以可知直线与的斜率之和为2.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．
【解析】由题可知，
设，，，由，得，
满足，可得，
满足，可得，
由，可得，
所以，
∴，，
又，
∴，
同理可得，
∴，
所以，又，
所以.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆截得的弦长为，可得．
又，，解得：，，，
椭圆的方程为．
（2）由（1）可得：圆的方程为：．
设，则以为直径的圆的方程为：，
与相减可得：直线的方程为：，
设，，，，联立，化为：，
，则，，
故．
又圆心到直线的距离，
，
，
令，则，
，可得，可得：．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，
动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，
所以椭圆的方程是.
（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.
设，连接OA，

因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，
若，则，故，
故直线的方程为：，
整理得到：；
当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，
满足.
故直线的方程为，同理直线的方程为，
又在直线和上，即，
故直线的方程为.
联立，消去得，
设，．
则，
从而



，
又，从而，所以.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程；
(3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，
椭圆的左焦点的坐标为，
由椭圆的定义得，
所以，，
，
由题意可得，即，
即椭圆的方程为；
（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，，
①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，，则，不合题意，舍去；
②当直线不垂直轴时，设直线
联立，消得，，
则，，
恒成立.
，
又，则，
化简得，，即，解得或（舍去），
所以，直线方程的方程为或.
（3）

是定值，定值为2.
设点，，，连接，，
，，则有，.
，不在坐标轴上，则，，
则，，
直线的方程为，即，①
同理直线的方程为，②，
将点代入①②，得，
显然，满足方程，
直线的方程为，
分别令，，得到，，，，
又满足，，即.
16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值．
【解析】（1）由题意F为，设直线为，，，，，
易得在点处切线为，在点处切线为，
由得，又，，可得，
故点的轨迹方程．
（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．
由韦达定理，得，，所以，
因为，直线MN可设为，同理得，
所以．