新高考数学二轮培优精讲精练专题01 三角函数的图象与综合应用（含解析）

专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型核心考点二：辅助角与最值问题核心考点三：整体代换与二次函数模型核心考点四：绝对值与三角函数综合模型核心考点五：的取值与范围问题核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A2．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．3．（2022·全国·高考真题）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.4．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【解析】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．6．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．【答案】【解析】因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；（3）伸缩变换①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．2、三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间的单调递增区间是，单调递减区间是；的单调递增区间是，单调递减区间是；的单调递增区间是．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，，的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.（3）利用导数判断单调性从而求解.4、对称性及周期性常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.若为奇函数，则有．5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：（一次显型齐次化）或者（二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若，则（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，，，，故选：C.例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则,故选:D．例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为，则则曲线在点处的切线的斜率为，又倾斜角为所以 则.故选：C.例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，，所以．故选: C．核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:=．（其中）第二类：二次辅助角【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数，当时，取得最大值，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，（其中，）当时，取得最大值，此时，得到，.故选：A.例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若，则函数的值域为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，当时，有，当，即时，；当，即时，.即函数的值域为.故选：A例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，当，即时，，当，即时，，故的值域为，故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习）函数，若，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，，，因为，则所以，因为，所以，一个为的最大值，一个为最小值，则，或解得，或所以（i），或（ii）对于（i），当时，的最小值是，对于（ii），当时，的最小值是，综上，的最小值是，故选：D例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程有实数解，则最小值是______．【答案】【解析】，因为关于x的方程有实数解，所以，即，则点的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于的同心圆，设点的轨迹方程为，表示点到点距离的平方，因为，所以点在圆内，点到圆上的点的最小值为，所以最小值时.故答案为：.例10．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.【答案】【解析】，设，可得，可得，其中，，因为，所以，，解得.因此，的最小值为.故答案为：.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为____.【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以.因为，所以的最小值为.核心考点三：整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.【典型例题】例12．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________．【答案】.【解析】，，当时，，故函数的最小值为．例13．（2022·全国·高考真题（文））函数的最大值为________.【答案】【解析】===，因为，所以当时，y取最大值，最大时为.【考点】二倍角公式和二次函数的性质.例14．（2022·全国·高考真题（理））函数的最大值是_________.【答案】【解析】令，则，由两边平方得则，配方得，当时取最大值故答案为例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为___________.【答案】【解析】设，则，，，∴时，，即．故答案为：．例16．（2022·全国·高三专题练习）若是三角形的最小内角，则函数的最小值是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因为是三角形的最小内角，所以 ，设， 则，原式，在 上递减，，故选B. 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型【规律方法】关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：，【典型例题】例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期为 B．的最小值为C． D．在上有解【答案】D【解析】，是以为周期的函数，当时，，则，，∴函数的最小正周期为，函数的最小值为1，故AB错误，由，故C错误；由，∴在上有解，故D正确.故选：D.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下述四个结论:①是偶函数;  ②在上为减函数;③在上为增函数; ④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（    ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【答案】D【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称，因为，所以是偶函数，故正确；对于②和③，因为，，且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；对于④，当时，，因为，所以，所以，所以；当时，，因为，所以，所以；当时，；当时，，因为，所以，所以，所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；故选：D例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数，以下结论正确的是（    ）A．是的一个周期 B．函数在单调递减C．函数的值域为 D．函数在内有6个零点【答案】C【解析】因为，所以A错误；当，，其中，不妨令为锐角，所以，所以，因为，所以B错误；因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，，，所以，即；因为关于对称，所以当时，故函数在上的值域为，故C正确；因为函数为偶函数，所以在区间上零点个数可通过区间上零点个数，由，在图像知由2个零点，所以在区间上零点个数为4个，所以D错误．故选:C.例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数，则（    ）A．的最小正周期为 B．的最大值为C．在上单调递减 D．在上有4个零点【答案】BD【解析】；当时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，观察可知，函数的最小正周期为，故A错误；函数的最大值为，故B正确；函数在上先减再增再减，故C错误；与x轴在上有4个交点，故D正确.故选:BD．例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数的最大值为______.【答案】【解析】因为的定义域为，所以为偶函数，当时，，，所以当时，函数取得最大值，综上可知函数的最大值，故答案为：例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则①在上的最小值是1；②的最小正周期是；③直线是图象的对称轴；④直线与的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.【答案】①③④【解析】对于①，当时，且，则当时，函数取最小值，即，故①正确；对于②，∵，，，则：故函数的最小正周期不是，②错误；对于③，若k为奇数，则；若k为偶数，则.由上可知，当时，，所以，直线是图象的对称轴，③正确；对于④，因为∵，所以为函数的周期.当时，；当时，.综上可知，.当时，，，即函数与在上的图象无交点：当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图像可知，直线与的图象恰有2个公共点，故④正确.故答案为：①③④.例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上递增；③在上有4个零点；④的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.【答案】①④【解析】定义域为R，，故是偶函数，①正确；在上单调递减，在上单调递减，故在区间上递减，②错误；当时，，当或时，，结合函数是偶函数，故时，，故在上有3个零点，③错误；，，则，且存在时，，综上：的最大值为2，④正确.故答案为：①④例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数，下述四个结论正确结论的编号是__________.①是偶函数；        ②的最小正周期为；③的最小值为0；     ④在上有3个零点.【答案】①②③【解析】对①，因为函数的定义域为，，所以是偶函数，故①正确；对②，因为，最小正周期为，的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故②正确；对③，.因为，当时，取得最小值为，故③正确.对④，令，即，解得或（舍去）.当时，，解得或，所以在上有个零点.故④错误.故选：①②③核心考点五：的取值与范围问题【规律方法】1、在区间内没有零点同理，在区间内没有零点2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点 3、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5、已知单调区间，则.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为______.【答案】【解析】是的一个零点，；是的一条对称轴，；由得：，，，；，；当时，，当时，，在内单调，不合题意；当时，，当时，，，在内不单调，符合题意；的最小值为.故答案为：.例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________.【答案】【解析】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．【答案】2【解析】因为函数为偶函数，且有且仅有3个零点，所以必有一个零点为，所以，得，所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点，因为函数的最小正周期，所以，即，得，所以的最小值是2.故答案为：2例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数，若在内单调且有一个零点，则的最大值是______________．【答案】【解析】在内单调,则最小正周期，，,,所以,时，，由得，，而在内恰有一个零点且单调（因为单调有零点则只能有一个零点），所以且，解得，所以的最大值是．故答案为：．例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数在上为增函数，则的最大值为________.【答案】【解析】在上单调递增，由正弦函数在某区间单调时，区间长度不超过半个周期，即，结合，故，∵，设，，则关于单调递增，故，而，，故最大可能取值区间是，根据复合函数的单调性，关于单调递增，故只需求关于单调递增区间即可，根据正弦函数的单调性，在上单调递增，故需满足，显然此时只可取，则，解得，又，∴，则的最大值是.故答案为：.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数的最小正周期为，的一个极值点为.若 ，则的最大值是_____.【答案】【解析】因为函数，则且的一个极值点为，则即得又因为，且则所以当时，故答案为: 例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()的图象向左平移个单位长度,得到曲线.若关于轴对称,则的最小值是______．【答案】【解析】设曲线所对应的函数为,则,的图像关于轴对称,,,解得:,,的最小值是.故答案为:.例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_______．【答案】【解析】由题意可知，所以，，因为，则，所以，，由题意可知，则，所以，，，故的最小值为.故答案为：.例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，若是图象的一个对称中心，在区间上有最大值点无最小值点，且，记满足条件的的取值集合为，则______.【答案】【解析】设函数的最小正周期为，由题得，则，又由在区间上有最大值无最小值，满足，则，当时，则，即，所以，又，故，所以，又，所以满足条件的的取值集合.故答案为：.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．【答案】17【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,故答案为：17例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数，其中．且，则的最小值为________．【答案】【解析】由题意，函数，因为，可得或，因为，要使得取得最小值，且，所以函数关于对称，可得，所以，若时，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因为，当时，可得；若时，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因为，当时，可得.故答案为：.例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.【答案】【解析】依题意，当时，y有最小值，即，则，所以.因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得.故答案为：例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数，若在区间内没有零点，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由于在区间内没有零点，故有，同时需满足解得,显然和时符合条件，所以的取值范围为．故选：AB核心考点六：三角函数的综合性质【典型例题】例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数同时满足下列三个条件：①该函数的最大值为；②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；③该函数图象关于对称.那么下列说法正确的是（    ）A．的值可唯一确定B．函数是奇函数C．当时，函数取得最小值D．函数在区间上单调递增【答案】AC【解析】由题可知：，,即∴又∵该函数图象关于对称∴，即又∵∴当时，∴A选项：此时的值可唯一确定，A正确；B选项：当时，∴此时函数不是奇函数，故B错误；C选项：，此时函数取得最小值，故C正确；D选项：已知，∴∴在函数在区间上单调递减，故D错误.故选：AC.例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（    ）A．直线是图象的一条对称轴B．在上单调递增C．若在上恰有4个零点，则D．在上的最大值为【答案】AC【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.对于A，当时，，故直线是图象的一条对称轴，故A正确.对于B，由，得，则在上不单调，故B错误；对于C，由，得，因为在上恰有4个零点，所以，解得，故C正确.对于D，由，得，则在的最大值为，故D错误.故选：AC.例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（    ）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．的图象关于直线对称 D．【答案】BC【解析】因为为奇函数，所以函数的图象关于点对称，故选项A错误；因为函数的图象关于点对称，则，对其两边取导数：则有，所以的图象关于直线对称，故选项正确；令，解得：，所以的图象关于直线对称，故选项C正确；又因为，所以为常数，则的图象关于对称，例如：当时，令，则图象有三个交点，其中和关于对称，且，此时，，故，所以此时不成立，故选项D错误；故选：BC.例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）．A．B．在区间单调递减C．在区间上有且仅有2个零点D．将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【答案】BC【解析】由图象可知，，所以，.又在处有最大值，且，则有，且有.则，又，所以.所以，，.所以，.则，，A项不正确；当时，，在上单调递减，则在区间单调递减，B项满足；当时，，在内有两个零点，则在区间上有且仅有2个零点，C项正确；将的图象向右平移个单位长度后，得到为一个偶函数，D项不正确.故选：BC.例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数，且对任意均有在上单调递减，则下列说法正确的有（    ）A．函数为偶函数B．函数的最小正周期为C．若的根为，2，，，则D．若在上恒成立，则的最大值为【答案】ACD【解析】由题可知有对称中心，对称轴，又在上单调递减，∴函数的最小正周期为，故B错误；，又，，∴，所以为偶函数，故A正确；作出函数的大致图象，由图可知，在上有4个根，且，故C正确；由，可得，所以，所以，所以，即，的最大值为，故D正确.故选：ACD．例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（    ）A．函数的周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上有4个零点D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合【答案】BCD【解析】由图象（1）可得，，故，故，而，故，而，故，故，由图（2）可得，，故，故，而，故，而，故，故，对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，，故函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C，即为，故或，，故或，.令，故；令，故；故在区间上有4个零点，故C正确.对于D，函数的图像向左平移，其图象对应的解析式为：.故D正确，故选：BCD.例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期为πB．图像的一个对称中心为C．的单调递增区间为D．的图像与函数的图像重合【答案】ABD【解析】由题.对于A选项，，故A正确.对于B选项，令，解得，其中.得图像的对称中心为，其中.当时，得图像的一个对称中心为，故B正确.对于选项C，令，其中.解得，其中，得的单调递增区间为，其中，故C错误.对于D选项，由，有，故D正确.故选：ABD例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知，则下列说法错误的是（    ）A．函数的最小正周期为B．函数为奇函数C．函数在上的值域为D．函数在区间上的零点个数为8【答案】ABC【解析】，对A选项，其最小正周期，故A错误，对B选项，令，，故其不是奇函数，故B错误，对C选项，，则，故，故C错误，对D选项，，显然其在零点为，共8个零点，故D正确.故选：ABC.【新题速递】一、单选题1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，，则方程所有解的和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设函数的最小正周期为，因为，所以由题意可知，又因为，又因为，所以，即，因此，由，或，当时，，当时，，当时，，所以，故选：B2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数则（    ）A．是奇函数 B．函数的最小正周期为C．曲线关于对称 D．【答案】D【解析】因为，对于A，，，即，所以不是奇函数，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，即在处取不到最值，故不关于对称，故C错误；对于D，，，则，所以，即，故D正确.故选：D.3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数（，），其图象相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，为单调递减函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：由的图象可知，相邻两条对称轴的距离为周期的一半，∴，∴，∴，∴，（）又∵对任意，都有，∴当时，取最小值，∴，（），∴，（）∵，∴∴，令，（），得，（），∴的单调递减区间为（），令，的一个单调递减区间为，对于A，区间内，上单调递减，其余部分单调递增，故A不正确；对于B，区间内，上单调递减，其余部分单调递增，故B不正确；对于C，区间，因此区间上单调递减，故C正确；对于D，由区间上单调递减可知，区间上单调递增，故D不正确.方法二：∵对任意，都有，∴当时，取最小值，又∵图象相邻两条对称轴的距离为，∴当时，取最大值，∴的一个单调递减区间为，对照选项中的区间可以判断，在区间上是单调递减函数.故选：C.4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为的函数，其值域为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由可得，，则，由题意可得，解得.故选：D.5．（2022·江苏南通·高三期中）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，切化弦得，∴，由且，解得，，∴，∴.故选：B6．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（    ）①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点③在单调递增              ④的取值范围是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】当时，，在有且仅有5个零点，，，故④正确；由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若在单调递增，则 ，即 ，，故③不正确．故选：A.7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数的命题，正确的有（    ）个（1）它的最小正周期是（2）是它的一个对称中心（3）是它的一条对称轴（4）它在上的值域为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，所以，故（1）错误；令，解得，当时，，故是函数的一个对称中心，故（2）错误；令，解得，当时，，所以是函数的一条对称轴，故（3）正确；当时，，，，故（4）正确.故选：C8．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（    ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【解析】∵，，∴，，故，，，由，则，故，，，当时，，，∵在区间上单调，故，故，即，，故，故，综上所述：或，故③④正确；或，故或，，不可能为偶函数，①错误；由题可知是函数的一条对称轴，故成立，②正确.故选：C.二、多选题9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数，曲线关于点中心对称，则（    ）A．将该函数向左平移个单位得到一个奇函数B．在上单调递增C．在上只有一个极值点D．曲线关于直线对称【答案】BC【解析】因为函数关于点中心对称， 所以，，所以，而，所以，，对于A，将该函数向左平移个单位得到，因为，，所以为偶函数，故A错误；对于B， 因为，所以，因为在在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C， 由得的单调递增区间为，由得的单调递减区间为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处有一个极值点，故C正确；对于D， 曲线，时，故D错误.故选：BC.10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．直线是的对称轴B．点是的对称中心C．在区间上单调递减D．的图象向右平移个单位得的图象【答案】BCD【解析】因为，所以直线不是的对称轴，故A错误；因为，所以点是的对称中心，故B正确；当时，，所以在区间上单调递减，故C正确；的图象向右平移个单位得的图象，故D正确；故选：BCD11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数，则（    ）A．的最大值为2 B．是的图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．的图象关于对称【答案】AB【解析】即A.明显的最大值为2，当，即时取最大值，A正确;B.当时，，故是的图象的一条对称轴，B正确；Ｃ.当时，，函数在上单调递增，在上单调递增，C错误；D.当时，，的图象不关于对称，D错误.故选：AB.12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设（其中为正整数，），且的一条对称轴为；若当时，函数在单调递增且在不单调，则下列结论正确的是（    ）A．B．的一个对称中心为C．函数向右平移个单位后图象关于轴对称D．将的图象的横坐标变为原来的一半，得到的图象，则的单调递增区间为【答案】ACD【解析】当时，函数在单调递增且在不单调,故的周期满足,由于为正整数，所以，故A正确，由于是的对称轴，所以,解得，由于，所以取则，故，所以，故B错误，向右平移个单位后得到，为偶函数，为C正确，将的图象的横坐标变为原来的一半，得到，令,解得则的单调递增区间为，故D正确，故选：ACD三、填空题13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A．该函数解析式为；B．函数的一个对称中心为C．函数的定义域为D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则的最小值为.【答案】ABC【解析】因为相邻对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，所以.所以.因为图象经过点，所以,所以因为.所以. 所以A正确；令，所以，所以函数的对称中心为.当时，对称中心为所以B正确；，令，所以，解之得函数的定义域为，所以C正确；将函数的图象向右平移个单位，得到是奇函数，所以因为的最小值为.所以D不正确.故答案为：ABC14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant，sec）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec，出自英文secant．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即．若函数，则下列结论正确的有__①函数的图像关于直线对称；②函数图像在处的切线与轴平行，且与轴的距离为；③函数在区间上单调递增；④为奇函数，且有最大值，无最小值．【答案】②③【解析】对于①，由题知，，显然，故函数的图像不关于直线对称，故①错误；对于②，，，所以，，所以，函数图像在处的切线方程为，所以，函数图像在处的切线与轴平行，且与轴的距离为，故正确；对于③，因为，令，则恒成立，所以，在上单调递增，因为，所以，时，；时，，因为函数的定义域为所以，当时，，，所以，函数在区间上单调递增，故正确；对于④，函数的定义域为，，故函数为奇函数；由③知，当和时，函数为增函数，所以，当从趋近于时，函数值趋近于，故函数无最大值，当从趋近于时，函数值趋近于，故函数无最小值，故④错误.所以，正确的结论有：②③故答案为：②③15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若，则______．【答案】【解析】，则，则，.故答案为：.16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，若关于x的方程在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．【答案】【解析】当时，，故为偶函数，当时，，图象可由向右平移个单位得到.根据偶函数图象关于轴对称画出在上的图象如图所示，要想保证方程在上有三个不同的实根，则，故答案为：四、解答题17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数．(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【解析】（1）由得，，故最小正周期为，由，解得，，故的单调递增区间为，；（2）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，画出函数的图象，由的图象可知：当时，有两个根，故实数k的取值范围为．18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数，且_____．从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．(1)求函数的单调递增区间；(2)设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．【解析】（1）选①，依题意，，，即，则，即有，而，则，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.选②，依题意，，显然，因函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.选③，依题意，，因函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，有，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，，由得：，，因此，由得：，，因此，从而，由得：，假定存在实数，使得对，，成立，即存在实数，使得对，，成立，则，于是得，解得，因此存在实数，使得对，，成立，所以实数的取值范围是.19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值．【解析】（1）∵；∴令，解得：，∴的单调递增区间为．（2）∵在区间（0，π）上恰有2个零点，∴，在（0，π）有两个根由（1）知，当时，函数图像的对称轴为，所以，则所以，又，故．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.【解析】（1）由函数图象知，，最小正周期，所以 ，所以，将点 代入中，有 ，所以 ， ，因为，所以 ,所以 ,令 ,，则，即的对称中心为 ．（2）先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，即，再将图象右平移个单位后得到的图象，即，令，，则，，因为 ，所以，即函数在上的单调减区间为 .21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．【解析】（1）根据表中已知数据，得，则，．数据补全如下表：且函数表达式为．（2）由（1）知，得．因为函数图象的对称中心为．令，解得．由于函数的图象关于点中心对称，令，解得．由可知，当时，取得最小值．22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数的部分图像如下图所示.(1)直接写出的解析式；(2)若对任意，存在，满足，求实数的取值范围.【解析】（1）由图象可知，解得，则，所以，又函数图象经过点，则，解得，，又，所以，所以；（2）由，得，当时，取最大值为，当时，取最小值为，所以，，由对任意，存在，满足，设的取值范围为，则，即，又函数，令，，解得，，令，解得，，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减；又，，，所以.0x0500x0500