2023-2024学年广东省深圳外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省深圳外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图是一根空心方管，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.下列说法错误的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 一组数据，，，的平均数是，方差是，则新数据，，，的平均数是，方差是
D. “人中至少有人的生日是同一天”是必然事件

3.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知反比例函数经过点，下列说法正确的是(    )

A. 这个函数的图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，随的增大而增大 D. 该反比例函数图象会经过点

5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知：矩形∽矩形，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片长英寸，宽英寸；将照片贴在一张长方形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；长方形衬纸的面积为照片面积的倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸如图，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.将反比例函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，得到如图的新曲线，与过点，的直线相交于点、，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论

阴影部分面积是
当时，
若是菱形，则
其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.如图，正方形中，为对角线上一点，且，则 ______

12.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______ ．

13.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有个白球和个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为______．

14.如图，是反比例函数图象上一动点，作轴于，作轴于，，分别是，的中点，连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，连接，若是直角三角形，则的坐标是______ ．

15.已知如图，正方形的边长为，取边上的中点，连接，过点作于点，连接过点作于点，交于点，交于点，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算：．

17.本小题分
为扎实推进“多彩校园”活动，我市某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表

参加四个社团活动人数扇形统计图

请根据以上信息，回答下列问题：
抽取的学生共有______ 人，其中参加篮球社团的有______ 人；
若该校有人，请估算该校参加舞蹈社团的学生人数；
该校某班有男女共名学生参加足球社，现从中随机抽取名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．

18.本小题分
年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率；
从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？

19.本小题分
如图，平行四边形中，点是对角线上一点，连接，，且．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

20.本小题分
如图，直线：与坐标轴交于、两点，以为边在右侧作正方形，过作轴于点过点的反比例函数与直线交于、两点．
求、两点坐标；
填空：不等式的取值范围是______ ．

21.本小题分

如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．
求证：∽；
，是否存在这样的值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．

22.本小题分

如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．

求直线和反比例函数的表达式；

点为反比例函数图象第二象限上一点，记点到直线的距离为，当最小时，求出此时点的坐标；

点是点关于原点的对称点，为线段不含端点上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图所示：俯视图应该是．
故选：．
俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
本题考查了作图三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．

2.【答案】 

【解析】解：、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，说法正确，不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是，方差是，则新数据，，，的平均数是，方差是，说法错误，符合题意；
D、“人中至少有人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义，可得，据此可得答案．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、函数，图象分布在一三象限，不符合题意；
B、当时，随的增大而减小，符合题意；
C、当时，随的增大而减小，不符合题意；
D、当时，，图象经过点，不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质逐项判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的增减性与的正负相关，，随的增大而减小，时，随的增大而增大．

5.【答案】 

【解析】解：将代入，得：，即：，
将代入，得：，即：，
将代入，得：，即：，
．
故选：．
分别将点，，的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．

6.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，，四边形和四边形是矩形，
，，
，，，
，
矩形∽矩形，
，
即，
，
，
故选：．
根据坐标与矩形的性质求出，，进而得到，根据相似多边形的性质求出，即可得到．
本题主要考查了相似多边形的性质，坐标与图形的性质，矩形的性质，正确求出矩形与矩形的相似比是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大长方形的长与宽．
根据关键语句“长方形衬纸的面积为照片面积的倍”列出方程求解即可．
【解答】
解：设照片四周外露衬纸的宽度为英寸，根据题意得：，
故选D．

8.【答案】 

【解析】解：将代入方程得：，
解得：，
则方程为，
即，
解得：或，
当三角形的三边为、、时，，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边为、、时，三角形的周长为，
故选：．
将代入方程求得的值，继而可还原方程，因式分解法求解得出的值，根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案．
本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键

9.【答案】 

【解析】解：连接、，过点、，分别作轴，轴，垂足为、，
点，，
，，，，
，，
，
，
同理，，
因此，旋转前点所对应的点，点所对应的点，
设直线的关系式为，故有，
，解得，，，
直线的关系式为，
由题意得，
，解得，，
因此，点、在旋转前对应点的坐标为，，如图所示，
过点、，分别作轴，轴，垂足为、，
则，，，，，
，
故选：．
根据点、的坐标可求出、的长，以及、与轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前、的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积．
考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，故正确；
，，
，
而，，
，故错误；
当，
四边形是矩形，
不能确定与相等，
而，
不能判断≌，
不能判断，
不能确定，故错误；
若四边形是菱形，则，
而，
≌，
，
，
，
，故正确．
故选：．
作轴于点，轴于点，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断≌，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断≌，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称．
本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．

11.【答案】 

【解析】解：正方形，
，，
，
，
故答案为：
由正方形的性质得到，，根据，根据三角形的内角和定理求出．
本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．

12.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得：且，
故答案为：且．
根据判别式的意义得到，，然后解不等式即可．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

14.【答案】 

【解析】解：连接，
是反比例函数图象上一动点，
设，
轴，轴，
四边形是矩形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
，，
≌，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
，
故答案为：
连接，设，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，解方程得到负值舍去，于是得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于．

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，，
，设，则，，
，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，，，
，
，
，，，
，
．
故答案为．
如图，延长交于首先证明：：，由≌，推出，，由，推出：：：，推出，再证明即可解决问题；
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．

17.【答案】   

【解析】解：调查总人数：人，
参加“篮球”社团的人数为：人，
故答案为：，；
人，
答：该校名学生中，参加舞蹈社团的学生大约有人；
从男女共名学生中随机抽取名，所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中男女的共有种，
所以从男女中任意抽取名同学，其中是男女的概率为．
从统计表和扇形统计图可知，样本中选择“足球”社团的有人，占调查人数的，根据频率即可求出调查总人数，进而求出参加篮球社团的人数；
求出样本中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，即可估计总体中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，根据频率进行计算即可；
用列表法表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
本题考查统计表、扇形统计图，列表法或树状图法，掌握频率以及用列表法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．

18.【答案】解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 

【解析】设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
在与中，

≌，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是菱形；
解：在中，，
设，，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
四边形的面积． 

【解析】连接交于，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论；
解直角三角形得到，，根据菱形的性质得到，，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．

20.【答案】或 

【解析】解：直线：，
令，则，
，
，
令，则，
，
，
；
四边形是正方形，
，，
，
轴，
，
，
，
在和中，
，
≌；
，，
，将点代入反比例函数中，得，
反比例函数的解析式为，
直线的解析式为，
联立得，，
解得，或，
，；
由图象知，不等式的取值范围是或，
故答案为：或．
先求出，；再利用同角的余角相等判断出，推导出≌，进而求出，，求出点的坐标，进而求出反比例函数顺序，再联立直线解析式求解，即可得出结论；
由图象直接得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，待定系数法，解方程组，求出点的坐标是解本题的关键．

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
又，
∽；
解：存在使得与相似．理由如下：
假设与相似，
存在两种情况：当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立；
当，使得与相似，设，则，
∽，
，
，，
∽，
，即，
解得，．
存在使得与相似． 

【解析】由题意可得，又由，可得，据此证得结论；
假设与相似，存在两种情况：当，可得，根据题意可知此种情况不成立；当，使得与相似，设，则，可得，，再由∽，即可求得值．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．

22.【答案】解：将代入中得，
，
，
反比例函数的表达式为，
设直线的解析式为，
将与代入得，
，
，
直线的解析式为；
将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，
设直线的解析式为，
方程有两个相等的实数根，
整理得，
，
解得或，
直线与轴交于正半轴，
舍去，
解方程，得，
，
；
分两种情况讨论：
当时，如图，作轴交于点，

轴，
，
四边形为正方形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
与关于原点对称，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为，
，点在直线上，
点的横坐标为，
当时，，
；
当时，如图，过点作轴的平行线，交于点，过作轴的平行线交于点，

则四边形是矩形，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
由知直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
是的中点，
，
设，则，
，
设或，
，
，
当时，同理可得≌，

，，
设，则，
，，
，
解得，
或，
综上，点的坐标为或或或 

【解析】利用待定系数可得答案；
将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过，从而解决问题；
将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．