2023-2024学年河南省郑州二中教育联盟九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年河南省郑州二中教育联盟九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列选项中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.如图，菱形中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图所示，两条公路，互相垂直，，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

4.解方程较为合适的方法是(    )

A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法

5.如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路两条小路各与矩形的一条边平行，根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

6.下列说法不正确的是(    )

A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 菱形的对角线互相垂直
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

7.如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在矩形中，、相交于点，若，，则矩形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，点在，且，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知一元二次方程有一个根是，那么这个方程可以是______ 填上一个符合条件的方程即可答案不惟一．

12.已知方程的一个根是，则它的另一个根是          ．

13.如图，两个相同的可以自由转动的转盘和，转盘被二等分，分别标有数字，；转盘被三等分，分别标有数字，，如果同时转动转盘，，转盘停止时，两个指针指向转盘，上的对应数字分别为，当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘，那么点落在平面直角坐标系第二象限的概率是______ ．

14.某村种植的杂交水稻年的平均亩产量为千克，年的平均亩产量为千克，则此水稻亩产量的年平均增长率为______ ．

15.已知矩形中，，，是上的点，将沿折痕折叠，使点落在边上的点处，点是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：
．
．

17.本小题分
某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．
请直接写出九年级同学获得第一名的概率是______ ；
用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率．

18.本小题分
已知：方程是关于的一元二次方程．
求的值；
若该方程无实数根，求的取值范围．

19.本小题分
已知：如图，四边形是平行四边形，交的延长线于点，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的周长．
 

20.本小题分
已知：如图，是的角平分线，交于点，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，试求四边形的面积．

21.本小题分

现有可建筑围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．
若，能否围成总面积为的仓库？若能，求的长为多少？
能否围成总面积为的仓库？请说说你的理由．

22.本小题分
某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了促进销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品毎降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元．据此规律，请回答：
降价后，每件商品盈利______元，日销售量______件．用含的代数式表示；
在上述条件不变的情况下，要更大程度地让利顾客，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？

23.本小题分
如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接．

______ ；
如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，
求线段的长；
求的面积；
当时，若令，则 ______ 用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；
选项B中的方程含有个未知数，所以它不是一元二次方程；
当时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除、、，
故选：．
利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程判定即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．

2.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形邻角互补和每一条对角线平分一组对角解答．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
点是的中点，，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：根据因式分解法得；，
，．
故选：．
用因式分解法中的提公因式进行分解即可解方程；
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，根据方程判断出最快的解法是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：设道路的宽应为米，由题意有：．
故选：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的试验田是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解决问题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误，符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，故B正确，不符合题意；
C.矩形的对角线相等，故C正确，不符合题意；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意．
故选：．
利用矩形的性质，菱形的性质，正方形及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形及平行四边形的判定方法，解题的关键是了解有关的判定方法．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积，
针头扎在阴影区域内的概率为，
故选：．
先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．
此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
矩形的面积．
故选：．
由矩形的性质得出，，由勾股定理求出，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
即的最小值为的长，
，
，
，
即的最小值为．
故选：．
连接，，先证明≌，可得，从而得到的最小值为的长，再根据勾股定理求出的长，即可得解．
本题主要考查了轴对称最短路线问题、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，作于，
由图得，当点运动到点时的时间为 ，即路程 ，
的面积为 ，即，
 ，
当点到达点时用时，即，
 ，
，
在中，，即，
，
故选：．

如图，作于，由得，当点运动到点时的时间为 ，即路程 ，根据的面积求出，再在中利用勾股定理求出即可．
本题考查了动点问题的函数图象，菱形性质及勾股定理的计算是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：设一元二次方程为，把代入可得，
所以只要，、的值满足即可．
如等．
答案不唯一．
设一元二次方程为，把代入可得、、之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一．
此题是开放性题目，主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出、、之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的、、的值就可得出一元二次方程．

12.【答案】 

【解析】【分析】
利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是，即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
【解答】
解：设方程的另一个根是，则，
解得：．
故答案是：．

13.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有种，
所以点落在直角坐标系第二象限的概率是，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法，列举法树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

14.【答案】 

【解析】解：设此水稻亩产量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
即此水稻亩产量的年平均增长率为．
故答案为：．
设此水稻亩产量的年平均增长率为，根据年的平均亩产量年的平均亩产量此水稻亩产量的年平均增长率，列出一元二次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】或或 

【解析】解：如图，

四边形是矩形，
，，，
由翻折的性质可知：，
，
当时，是等腰三角形．
当时，．
当时，作，则．
∽，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为或或．
分若；以及三种情形分别讨论求出满足题意的的值即可．
本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

16.【答案】解：，
所以，；
，
或，
所以，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．

17.【答案】
画树状图如下：

九年级同学获得前两名的概率为． 

【解析】解：九年级同学获得第一名的概率是，
故答案为：；

见答案
【分析】
根据概率公式可得；
根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．

18.【答案】解：方程是关于的一元二次方程，
，，
解得：，，
；
由可得方程：，
方程无实数根，
，
解得：． 

【解析】由一元二次方程的定义进行分析即可；
利用根的判别式进行求解即可．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
▱是矩形；
解：，，，
．
四边形是平行四边形，
四边形的周长为． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，，
是的角平分线，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，连接交于点，

由可知，四边形是菱形，
，，，
，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，，再证，则，即可得出结论；
连接交于点，由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：设米，则米，根据题意得：
，
解得：或，
答：能围成面积为的仓库的长为米或米．
设米，则米，根据题意得：
，
整理得：，
，
此方程无实数根，即不能围成平方米的仓库． 

【解析】设为米，然后表示出的长，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；
同理列出方程，若有实根，则可以，否则就不可以；
本题考查了一元二次方程的应用，利用设得的未知数表示出的长是解答本题的关键．

22.【答案】；；
  根据题意可得，
解得：或，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价元，商场日盈利可达元． 

【解析】解：商场日销售量增加件，每件商品盈利元，
故答案为：、；

见答案．
【分析】
降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
根据日盈利每件商品盈利的钱数原来每天销售的商品件数降价的钱数，列出方程求解即可；
考查了一元二次方程的应用，得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．

23.【答案】  

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，
沿折叠得到，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
故答案为：；
由知：≌，
，
为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
；
由知：，，
，
，，
；
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
．

故答案为：
根据正方形的性质可得，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得，，，再求出，，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而得解；
设，则，根据勾股定理得：，列方程可得的长；
先计算的面积，根据同高三角形面积的关系可得：；
根据等腰三角形三线合一的性质可得是的中点，由和折叠得：，根据勾股定理可得结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．