2024四川省仁寿一中校南校区高二上学期10月月考数学试题含答案

仁寿一中南校区高2022级高二上学期十月月考数学试题

一、单选题

1．若向量，向量，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】向量，向量，则.

故选：C

2．从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治

C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治

【答案】D

【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，

可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，

“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.

对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；

对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；

对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；

对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.

故选:D.

3．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量，，，则= （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由题意，

=+=×(+)+×=

故选：C

4．已知，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

故在上的投影向量为.

故选：D

5．设 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）

A．若，，，则B．若，，，则

C．若，，，则D．若，，，则

【答案】C

【详解】A选项，如图1，当，时，因为，所以，

如图2，当时，因为，，

设，过点作，则，且

因为，所以，所以，A正确；

B选项，如图3，若，，所以，

因为，故存在，使得，且，则，

因为，所以，

因为，故，B正确；

C选项，如图4，满足，，，

但不满足，C错误；

D选项，如图5，因为，，

所以，

又，

所以，故D正确.

故选：C

6．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，

选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，

同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择物化生的有1种，

某考生选择物化生的概率是.故选：D

7．在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．   B．   C． D．

【答案】B

【详解】如图所示：

  连接交于点，连接，

因为,

所以（补角）是异面直线与所成角．

因为平面，平面，

所以，

又因为四边形为菱形，所以，又，

所以平面PBD，又平面PBD，

所以，则为直角三角形，设，

在中，，

所以，

故选：B．

8．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（    ）

A． B．          C．        D．

【答案】D

【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、，设点，

，，

，，得，

由，得，得，

，

，当时，取得最大值.

故选：D.

二、多选题

9. 下面四个结论正确的是（    ）

A．向量，若，则．

B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．

C．已知向量，，若，则为钝角．

D．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；

【答案】ABD

10．是空气质量的一个重要指标,我国标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均值在以下空气质量为一级,在之间空气质量为二级,在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位:）的统计数据,则下列叙述正确的是（    ）

A．从5日到9日,日均值逐渐降低

B．这10天中日均值的平均数是49.3

C．这10天的日均值的中位数是45

D．从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据,空气质量为一级的概率是

【答案】ABD

【解析】由图可知从5日到9日,日均值逐渐降低，故选项A正确;

由图平均数为，故选项B正确;

由图可知这10天的数据从小到大排列为：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位数为:，故选项C错误;

由数据可知,10天中日均值以下有4天，故空气质量为一级的概率是，故选项D正确.

故选：ABD

11．下列叙述正确的是（    ）

A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为

C．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件

D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为

【答案】ABD

【解析】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；

对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为，B正确；

对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误；

对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为，D正确.

故选：ABD

12．已知三棱柱 为正三棱柱，且 ， ， 是 的中点，点 是线段 上的动点，则下列结论所有正确的命题是（    ）           

A. 正三棱柱 外接球的表面积为

B. 若直线 与底面 所成角为 ，则 的取值范围为

C.若 ，则异面直线 与 所成的角为

D.若过 且与 垂直的截面 与 交于点 ，则三棱锥 的体积的最小值为。

【答案】AD

【解答】对A ：因为 外接圆的半径 ， ，所以正三棱柱 外接球的半径 ，所以外接球的表面积为 ，故 A正确；

对B ：法一:取 的中点 ，连接 ， ， ， ，由正三棱柱的性质可知平面 平面 ，且交线为AF,所以当点 与 重合时，,PB最大, 最小，此时;当点 与 重合时，,PB最小, 最大，此时所以 ，故B 错误；

法二:点P到底面 的距离为正三棱柱的高2,, 时,PB最小,,当当点 与 重合时，,PB最小, 最大，此时;

又

与 重合时，PF最大,即PB最大, 最小，此时;所以 ，故B 错误；

法三:（向量法）以BC中点F为空间原点,分别以FA,FB,FD为轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设,,为面ABC的法向量,

当t=0时,

当t=3时, 所以 ，故B 错误；

对C ：法一（割补法）将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则 (或其补角)为异面直线 与 所成的角，易得 ， ，所以 ，故C错误；

法二（向量法）以BC中点F为空间原点,分别以FA,FB,FD为轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设,

故C错误；

对D：如图所示，因为 ，所以要使三棱锥 的体积最小，则三棱锥 的体积最大，设 的中点为 ，作出截面如图所示，

因为 ，所以 在以 为直径的圆上，

所以点 到底面 距离的最大值为  ，

所以三棱锥 的体积的最小值为 ，故D正确.  .故选AD.

三、填空题

13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是        人.

【答案】1800

【详解】，故该校高中学生总数是1800人.

故答案为：1800

14．已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则      ．

【答案】0.9/

【详解】由题意得，则．

故答案为：0.9

15．在△中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为          ．

【答案】

【详解】如图：∵，∴，

则，又∵B，P，N三点共线，

∴，故得m=．故答案为．

16．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．则下列结论：

①当a＝时，ME与CN相交；

②MN始终与平面BCE平行；

③异面直线AC与BF所成的角为45°；

④MN的最小值为．

正确的序号是     ．

【答案】②④

【详解】由题意， 以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

由正方形，的边长1，

所以

因为，所以，

若与相交，则四点共面，又在平面，

所以当且仅当在平面 时，与相交，此时，故①错误；

平面的法向量为，，

，，所以MN始终与平面BCE平行，故②正确；

，设异面直线与所成的角为，

，所以异面直线AC与BF所成的角为，故③错误；

，故④

正确.

故答案为：②④

四、解答题

17．设A，B，C，D为平面内的四点，且.

(1)若，求D点的坐标；

(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）设，因为，于是，整理得，

即有，解得，

所以.

（2）因为，

所以，，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数k的值为.

18．三棱台中，若面，分别是中点.

(1)求证：//平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1） 

连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，

由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，

又平面，平面，于是//平面.

（2）[方法一：几何法]

 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.

由题干数据可得，，，根据勾股定理，，

由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.

又平面，则，又，，平面，故平面.

在中，，

又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，

即点到平面的距离是.

[方法二：等体积法]

  辅助线同方法一.

设点到平面的距离为.

，

.

由，即.

19．某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，后得到如图的频率分布直方图.

(1)求抽取的40名学生同学的成绩的中位数；

(2)若该校高二年级共有学生560人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；

(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的概率.

【答案】(1)75分；(2)196；(3).

【解析】（1）由频率分布直方图可得，

解得，因为前3组的频率和，

前4组的频率和，

所以中位数在第4组，设中位数为，则，解得，

所以中位数为75分；

（2）由频率分布直方图可得成绩不低于80分的频率为，

因为该校高二年级共有学生560人，

所以该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数约为（人）；

（3）由频率分布直方图可得成绩在内的人数为人，记为，

成绩在内的人数为人，记为，

若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生的所有情况有：

，，，，

共15种情况，

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的有：，，共8种，

所以所求概率为.

20．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么

(1)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？

(2)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.

【答案】(1)甲获得录取的可能性大；(2).

【解析】（1）记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则

，，即，

所以甲获得录取的可能性大.

记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.

21．如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，，，为上一点.

(1)求证：；

(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2).

【解析】（1）因为，，所以，，

又因为，则，所以，

因为平面，平面，所以，

且，平面，所以平面，

由平面，所以.

（2）以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

可得，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，可得平面的一个法向量为，

设与平面所成角为，

则，

所以与平面所成角的正弦值为.

22．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；

(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.

【解析】（1）取中点，连接，

分别为的中点，，

底面四边形是矩形，为棱的中点，

，．，，

故四边形是平行四边形，．

又平面，平面，

平面．

（2）假设在棱上存在点满足题意，

在等边中，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，则是四棱锥的高．

设，则，，

，所以.

以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

故，，．

设，

．

设平面PMB的一个法向量为，

则

取．

易知平面的一个法向量为，，，