专题3. 三角与导数压轴的五大类型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题3.三角与导数压轴的五大优质基因

一．基本原理

三角与导数压轴是近年来比较热门的题型之一，它为导数压轴题目带来了新的活力，既然如此，这个题型也一定有它独到的地方，本文就详细地梳理了我认为它可能会被选择作为压轴的五大特色优质基因，它们分别是：

1.逐段讨论. 三角函数的周期性和有界性导致了一些综合问题中需要逐段讨论，这样的讨论中对取点，估计，以及函数的性质等考察力度均很大，对考生要求很高.

2.无穷零点. 用一个正余弦函数去乘指对函数，就会导致有无穷多个零点出现，这是其他指对函数没有的特性，我们甚至可进一步讨论这无穷个零点直接的关系.

3.震荡上行，以为例，由于的有界性，若出现三角函数+增函数结构时，会出现震荡上行，会出现存在实数，使得当时，有能成立，这样的命题形式，此时，必要性分析是一个很重要的手段.

4.配合三角恒等式. 配合三角恒等式就可以做到更强的综合性，需要考生有很强的观察能力.

5.三角不等式与放缩.一些重要的三角不等式，例如，，以及均值不等式等等，在一些三角恒成立或者极值点偏移问题中会用到.

二．典例分析

特色1. 逐段讨论

三角与导数综合的零点个数问题的处理的关键就是零点存在唯一性定理，即弄清楚单调性和端点值.前者通过导数完成，这一块要注意往往可能需要高阶导数，这是由三角函数求导的特征所决定的！后者要注意三角函数的有界性，往往过了某个范围后，函数恒正或者恒负，不再出现零点，这就决定了分段讨论，而分段的依据主要是由三角函数的取值象限来进行，等.除此之外，有的区间上找点时注意不等式放缩，从而减少找点的难度！总结起来，有关三角函数的零点问题处理主要手段有：

（1）分段处理；

（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶导数的应用，直到能清楚判断所讨论区间的单调性；

（3）关注有关三角的不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程！

；；.

例1.（全国1卷）已知函数.

（1）若为的导函数，证明：在上存在唯一的极大值点；

（2）证明：有且仅有两个零点.

解答：（1）由题意知：定义域为：且，令，，，，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减.

下面考虑端点值：因为，

，使得. 当时，；时，

即在上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点. 即：在区间上存在唯一的极大值点.

（2）由（1）知：，.下面分区间逐次讨论：

①．当时，由（1）可知在上单调递增，，在上单调递减，又，为在上的唯一零点.

②．当时，在上单调递增，在上单调递减，又    ，在上单调递增，此时，不存在零点.

又，使得，在上单调递增，在上单调递减.

考虑端点值：由于.在上恒成立，此时不存在零点.

③．当时，单调递减，单调递减,在上单调递减

又，.即，又在上单调递减.在上存在唯一零点.

④.当时，，，，即在上不存在零点. 综上所述：有且仅有个零点.

特色2. 无穷零点

例2（天津）已知函数，为的导函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：；

（3）设为函数在区间内的零点，其中，试证明：.

解析：（3）首先我们需要把区间内的零点搬到熟悉的区间上来，这一点可通过变换实现，令，故，且.这样我们就把题干转化到第（2）问的条件下了.

下面我们来利用改写题干条件，即证：.由于，故只需证①即可.由于，故证明①成立，只需等价于证明：②，结合的表达式可知，不等式②成立等价于③即可，看到这里，是不是发现跟第（2）问的神似之处！

另一方面，注意到以及第（2）问的结论，可得：④.

故欲使得③成立，只需使得.所以，只要能说明，整个题目就解决了！而这个步骤，就需要第（1）问，由于且满足对于，，且在上减，故，证毕！

特色3.震荡上行函数的拐点分析

例3.（2021武汉高三毕业班二诊）．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在实数，使得当时，有能成立，求的值．

解析：（1）时，．．

∴切线方程为：．整理得：．

（2）．令，得．．

（ⅰ）当时，为上的减函数，．

∴时，，递增．又此时，故时，，递减．时，，递增．∴时，，递增．

由．故时，．时，．

此时，存在使时，，满足条件．

（ⅱ）当时，，，递增．

此时，．故存在使得．当时，递增．∴时，，递减．即时，，不存在，使时，．

（ⅲ）当时，，令，得．

∴时，递减，递减．

即时，，不存在，使时，．

（ⅳ）当时，在递减．递减．故时，，不存在，使时，．综上所述：．

特色四.三角导数与三角恒等式

例4．定义在上的函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值.

解析：（1）当时，，故.

曲线在点处的切线的斜率为，曲线在点处的切线方程为，令.所以切线与轴的交点.此时所求三角形的面积为.

（2），当时，.

由函数在区间上递增，且值域为，故存在唯一，使得.此时当时，单调递减；当时，单调递增，因此.同理，存在唯一，使得.

此时当时，单调递增；当时，单调递减，因此.由.

同理：.由，整理得：. 又，故，则有，由，故或.

又，当时，不满足，舍去. 所以，即，则. 综上所述，.

特色5.三角放缩

例7.设，（e是自然对数的底数），则（    ）

A． B．

C． D．

解析：由于，故.

另一方面，由于，故.

再对也用帕德逼近故

，故.

例8（1）求证时，；

（2）当时，，证明不等式恒成立.

解析：（1）证明：令，，

显然对恒成立，故在上单调递增，从而

，故在上单调递增，从而

即时，恒有成立.

（2）对于由（1）得①②，故对，，要证，只要证

即证（*），当时，（*）显然成立；当时，即证

.令，则，

时有，故在上单调递增，所以

从而在上单调递增，所以，即(*)成立.终上所述:

当时，，不等式恒成立.