广东省深圳市南山区南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

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南外集团华侨城中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，质地均匀的转盘被平均分成了6份，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7
6．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　）

A． B． C． D．4
8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800
C．54×38﹣54x﹣38x＝1800 D．54x+38x＝1800
9．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）

A．3 B． C． D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：2ab2﹣8a＝　 　．
12．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 　 　．
13．设m是方程x2﹣x+2023＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 　 　．
14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为　 　．

三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）2x2+3x﹣5＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0．
17．（6分）先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．
18．（6分）为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　 　人；类别C所对应扇形的圆心角度数为 　 　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．
（1）求证：四边形EFCG是菱形；
（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．

20．（8分）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？

21．（9分）阅读材料：x4﹣6x2+5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是方程变为y2﹣6y+5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，x＝±1，当y＝5时，x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝
（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c＝4，两直角边a，b满足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周长和面积．

22．（10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 　 　．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：
　 　；
　 　．
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．​
C． D．​
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．
故选：D．
2．如图，质地均匀的转盘被平均分成了6份，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵质地均匀的转盘被平均分成了6份，即转盘被分成6个相同的扇形，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，其中红色的有2个扇形，
∴转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为＝．
故选：C．
3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【解答】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：A．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7
【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，
∴（x﹣2）2＝7．
故选：C．
6．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝9k（k≠0），
∴，
故选：A．
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　）
​

A． B． C． D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵DH⊥BC，
∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD，
即5DH＝×8×6，
解得：DH＝，
故选：C．
8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800
C．54×38﹣54x﹣38x＝1800 D．54x+38x＝1800
【解答】解：设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长（54﹣x）米，宽为（38﹣x）米的矩形，
依题意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800．
故选：A．
9．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）

A．3 B． C． D．4
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG＝112.5°
④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴RT△AED≌RT△GED（HL），故②正确；
∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，
∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，
∴AE＝AF＝EG，
又∵∠H＝∠DBC＝∠DAC＝45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确；
∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故选：B．

二．填空题（共5小题）
11．分解因式：2ab2﹣8a＝　2a（b+2）（b﹣2）　．
【解答】解：2ab2﹣8a，
＝2a（b2﹣4），
＝2a（b+2）（b﹣2）．
故答案为：2a（b+2）（b﹣2）．
12．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 　12　．
【解答】解：根据题意知×100%＝20%，
解得a＝12，
经检验：a＝12是原分式方程的解，
所以推算出a的值大约是12，
故答案为：12．
13．设m是方程x2﹣x+2023＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 　﹣2022　．
【解答】解：由题意知，m2﹣m+2023＝0，
∴m2﹣m＝﹣2023，
∴m2﹣m+1＝﹣2022，
故答案为：﹣2022．
14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 　x（x﹣1）＝28　．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝28，
故答案为：x（x﹣1）＝28．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为　3　．

【解答】解：连接CN．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝4，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
∴MN≤CN+CM＝3，
∴MN的最大值为3，
故答案为3．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（1）2x2+3x﹣4＝2；
（2）x2﹣4x+8＝0．
【解答】解：（1）方程整理得：2x2+3x﹣6＝0，
这里a＝2，b＝3，c＝﹣6，
∵Δ＝b2﹣4ac＝9+48＝57＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣4x＝﹣8，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣4，即（x﹣2）2＝﹣4＜0，
∴此方程无解．
17．先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]×，
＝2x+8，
由分式有意义可得x≠﹣2、0或2，
当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）+8＝6．
18．为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　40　人；类别C所对应扇形的圆心角度数为 　54　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为20÷50%＝40（人）．
类别C的人数为40﹣20﹣10﹣4＝6（人），
类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝54°．
故答案为：40；54．
（2）补全条形统计图如图所示．

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好都是男生的结果有6种，
∴所选取的2名学生恰好都是男生的概率为＝．
19．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．
（1）求证：四边形EFCG是菱形；
（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．

【解答】（1）证明：∵将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，
∴∠CFD＝∠EFD，CF＝EF，CG＝EG，
∵EG∥BC，
∴∠EGF＝∠CFD，
∴∠EGF＝∠EFD，
∴EG＝EF，
∴EG＝EF＝CF＝CG，
∴四边形EFCG是菱形；
（2）解：∵∠A＝∠B，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AB＝5，BC＝4，
∴AE＝3，
∴BE＝2，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴22+BF2＝（4﹣BF）2，
解得BF＝，
∴EF＝，
设点B到直线EF的距离为h，
∴＝，
解得h＝，
∴点B到直线EF的距离为．
20．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
【解答】解：（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：
2000（1+x）2＝12500，
解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合题意舍去），
答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；

（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，需要成本为w元，依据题意可得：
a≤3（100﹣a），
解得：a≤75，
w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，
∵﹣100＜0，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当a＝75时，w取最小值，此时100﹣75＝25，
w＝﹣100×75+30000＝22500，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
21．（9分）阅读材料：x4﹣6x2+5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是方程变为y2﹣6y+5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，x＝±1，当y＝5时，x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝
（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c＝4，两直角边a，b满足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周长和面积．
【解答】解：（1）解：设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a﹣12＝0，
解得a＝﹣2或6，
当a＝﹣2时，x2﹣x+2＝0
Δ＝（﹣1）2﹣8＝﹣7＜0，此方程无实数根，
当a＝6时，即x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2
∴原方程有两个根x1＝3，x2＝﹣2．
（2）设x＝a+b，则原方程为x2﹣7x+10＝0，
解得：x＝2或x＝5，
即a+b＝2，a+b＝5，由斜边c＝4，舍去a+b＝2，
Rt△ABC的周长为4+5＝9；
由勾股定理得a2+b2＝42，
则（a+b）2﹣2ab＝16
解得：ab＝，
因此Rt△ABC的面积＝ab＝．
22．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 　D　．
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：
　①AC＝BD　；
　②AC⊥BD　．
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．


【解答】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故选：D；
性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；
理由如下：如图1，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故答案为：AC⊥BD，AC＝BD；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MN∥BG，MN＝BG，RL∥BG，RL＝BG，RN∥CE，RN＝CE，ML∥CE，ML＝CE，
∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML∥CE，RN＝ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG，
又∵RL＝BG，RN＝CE，
∴RL＝RN，
∴▱MNRL是菱形，
∵∠EAB＝90°，
∴∠AEP+∠APE＝90°．
又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK＝90°，
∴∠BKP＝90°，
又∵MN∥BG，ML∥CE，
∴∠LMN＝90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：（1）MN＝AC，理由如下：
如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM＝FN，∠MFN＝90°，
∴MN＝＝＝FM，
∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM＝AC，
∴MN＝AC；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
连接BD交AC于O，连接OM、ON，
当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2（OM+ON）最小＝2MN，
由性质探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2OM，CD＝2ON，
∴2（OM+ON）＝AB+CD，
∴（AB+CD）最小＝2MN，
由拓展应用（1）知：MN＝AC；
又∵AC＝2，
∴MN＝，
∴（AB+CD）最小＝2．