精品解析：重庆市璧山来凤中学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由解析式有意义列不等式可求函数的定义域.
【详解】由由意义可得，，
所以且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数解析式，代入准确计算，即可求解.
【详解】由函数，可得，
则.
故选：C.
4. 函数的图象必经过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】指数型函数过定点，令即可得到结果
【详解】根据指数函数恒过定点，
则恒过定点，令，，
所以函数的图象必经过定点，
故选：D.
5. 下列函数为偶函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，可得函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，
且，则且，
所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，所以C不符合题意；
对于D中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，所以D符合题意.
故选：D.
6. 已知 ，则 三者的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的图像及其性质即可得到与1的大小关系，最后即可比较出三者大小关系.
【详解】由函数的图像与性质可知：；
由函数的图像与性质可知：；
∴.
故选：A.
7. 已知 在上为增函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数 在上为增函数，
所以，解得.
故选：A
8. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可．
【详解】由于函数的定义域为，故，解得，
即函数的定义域为.
故选：A.
9. 已知，且，则的值为（ ）
A. 36B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由指数式与对数式的互换公式可得，，进而变形可得，，又由，由对数的运算性质计算可得答案．
【详解】解：根据题意，，则有，，
则，，
若，即，所以，解得，因为
所以；
故选：．
10. 函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）
A. 升B. 升C. 升D. 升
【答案】B
【解析】
【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.
考点：平均变化率.
12. 已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性及奇偶性，解不等式和，由，分和进行讨论，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．
【详解】奇函数在上为增函数，且，
则在上为增函数，且，
，解得或；，解得或.
不等式，等价于或，
解得或.
故选：A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的位置上.）
13. 设集合，集合A的子集个数是______个
【答案】4
【解析】
【分析】根据列举法求解子集，即可求解.
【详解】由得，
所以集合A的子集有，共有4个，
故答案为：4
14. 设，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式求得正确答案.
【详解】由解得，
所以.
故答案为：
15. 已知是定义在上的偶函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求得，进而求得.
【详解】由于是定义在上的偶函数，所以，
，
所以，
不恒为，所以，
所以.
故答案为：
16. 设函数，则使得成立的的取值范围是______.（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的表达式，对x进行分类讨论求解不等式即可．
【详解】由，可得或，
解得或，即，
所以使得成立的的取值范围是.
故答案为：
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）求的值；
（2）化简
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算性质求解；
（2）根据对数的运算性质求解.
详解】（1）原式.
（2）原式.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，可求出集合，进而与集合取交集即可；
（2）由，可得，从而可列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
因为集合，所以.
（2）由，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查集合的交集，考查根据集合的包含关系求参数范围，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19. 已知是定义在上奇函数，且；当时， .
（1）求的值；
（2）求函数在上的解析式；
（3）解方程；
【答案】（1）5 （2）
（3）解集为
【解析】
【分析】（1）由，可求的值；
（2）是奇函数，有，由时的解析式，求时的解析式，得函数在上的解析式；
（3）根据分段函数，分类讨论解方程.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，，解得；
【小问2详解】
当时，，是定义在上的奇函数，
则当时，，则，时也满足，
所以.
【小问3详解】
方程，即或，
解得或或，
所以方程解集为.
20. 已知指数函数的图像经过点.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数，的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案；
（2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域.
【小问1详解】
∵函数的图像经过点，
∴，得，（舍），
，，
在上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
令，，则，
则，
所以在上单调递减，
故当时，，
当时，，
故当时，的值域为.
21. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并利用定义证明；
（2）判断函数单调性（不需要证明），并画出的图像.
（3）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）定义法判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数单调性，结合奇偶性与单调性画出的图像.
（3）由函数单调性，求出，可得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数是奇函数，证明如下，
函数定义域为，，
所以函数是奇函数.
【小问2详解】
函数和在上都单调递增，则在上单调递增，
同理，在上也单调递增.
由，，，可得函数图像如图所示，
【小问3详解】
不等式区间上恒成立，只要，
又在上单调递增，，则，
所以实数的取值范围为.
22. 某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为万元，但每生产一百台，需要新增投入万元，经调查，市场一年对此产品的需求量为台，销售收入为（万元）.（），其中是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把年利润表示为年产量（单位：百台）的函数；
（2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？
【答案】（1）（2）350
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据利润等于收入减去成本分段列函数关系式，最后写出分段函数形式（2）根据二次函数与一次函数性质分段求最大值，最后求两者较大值
试题解析：（1）当时，
当时，
即
（2）当时，
∴当时，
当时，为上的减函数，则
又∴
故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大.
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日