广西南宁市第三十六中学2024届高三上学期10月月考数学试题

广西南宁市第三十六中学2024届高三上学期10月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

4．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

7．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，､分别是双曲线：的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于点､，若为以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A．4 B． C． D．

二、多选题

9．已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

10．一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出个球，则下列说法正确的是（    ）

A．两个都是红球的概率为

B．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为

C．第二次取到红球的概率为

D．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为

11．已知函数，则（    ）

A．函数有且只有2个零点

B．函数的递减区间为

C．函数存在最大值和最小值

D．若方程有三个实数解，则

12．设函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．是偶函数

B．为奇函数

C．是周期为4的周期函数

D．

三、填空题

13．已知平面向量，，若，则           .

14．的展开式中的常数项为      .

15．已知三棱锥中，，，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为      .

16．已知曲线与的公切线为，则实数      .

四、解答题

17．已知正项数列满足，设．

(1)求，；

(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(3)的通项公式，并求其前项和为．

18．在中，角，，的对边分别为，，，已知，.

（1）求；

（2）求的值.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD， ，，，.

(1)试在棱PC上找一点E满足：；

(2)若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值.

20．近年来，我国电子商务蓬勃发展，某创业者对过去100天，某知名A产品在自己开的网店和实体店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知网店与实体店销售量相互独立．

(1)写出频率分布直方图a的值，记实体店和网店的销售量的方差分别为，，试比较，的大小；（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

(2)网店回访服务，若查知某天该网店所销售的A产品被10名不同的顾客（其中2名男性）购买，现从这10名顾客中随机选2人进行服务回访，求恰好选到一人是男性的概率；

(3)若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于30件可盈利，记“未来三天实体店盈利的天数”为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

21．已知椭圆C：经过点，其右顶点为A（2，0）．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为．证明直线PQ经过定点，并求△APQ面积的最大值．

22．已知函数，a为常数，.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)①讨论函数的单调性；

②，不等式恒成立，求a的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.

【详解】设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

2．C

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

3．B

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

4．D

【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.

【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；

对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；

对于C，，

故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；

故选：D.

5．A

【分析】由得出，再根据诱导公式及二倍角公式得出，代入计算即可．

【详解】由得，

则，

故选：A．

6．C

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

7．A

【分析】根据三角函数的图象变换，得到，由函数在区间上单调递增，得到不等式组，即可求解.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，

则，

因为，可得，

由函数在区间上单调递增，

则满足，即，

当时，可得，所以的取值范围是.

故选：A.

8．D

【分析】设，，则，由双曲线的定义得到，求得，在中，利用余弦定理列出方程求得，即可求得双曲线的离心率.

【详解】由题意，等腰直角三角形，设，，则，

由双曲线的定义，可得，

可得，解得，

在中，由余弦定理可得，

即，

整理得，即，所以.

故选：D.

9．ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

10．BCD

【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断A选项；利用条件概率公式可判断B选项；利用全概率公式可判断C选项；利用贝叶斯公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，抽取的两个都是红球的概率为，A错；

对于B选项，记事件第一次取红球，事件第二次取白球，

则，，所以，，B对；

对于C选项，记事件第一次取红球，事件第二次取红球，

则，，，，

由全概率公式可得，C对；

对于D选项，记事件第一次取红球，事件第二次取红球，

则，

所以，，D对.

故选：BCD.

11．AB

【分析】求得，得到函数的的单调性与极值，画出函数的图象，结合图象，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数，则，

令，解得；令，解得或，

所以函数在上单调递减，在和上单调递增，

且，，当时，，

作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确；

所以，无最大值，所以C错误；

若方程有三个实数解，即与的图象有三个不同的交点，

可得，所以D错误.

故选：AB.

12．AB

【分析】由，可知的图象关于对称，即，结合图象的变换，可判定A正确；由，得到，可判定C不正确；由，可判定B正确；由的值不能确定，可判定D错误.

【详解】由题意，函数满足，

可知函数的图象关于直线对称，即，

将函数的图象向左平移个单位，得到函数，

此时的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，所以A正确；

由，即，可得，

即，若为常函数且，则是函数的周期，

否则，4不是函数的周期，所以C不正确；

因为，可得，

因为函数的周期为，可得，即，

所以为奇函数，所以B正确；

由为奇函数，可得，

因为，则，

其中的值不能确定，所以D错误.

故选：AB.

13．

【分析】由向量平行可得，再由向量线性运算的坐标表示可得，最后应用向量模长的坐标运算求.

【详解】由题设，，即，则，

所以，故.

故答案为：.

14．

【分析】先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式中的常数项，得到答案.

【详解】由二项式的展开式的通项公式为.

令，可得；令，可得，

所以二项式的展开式中的常数项为.

故答案为：.

15．

【分析】判断平面时，该三棱锥体积最大，再由球的表面积公式求解．

【详解】，的外接圆半径为，

由题意得当平面时，该三棱锥体积最大，

此时其外接球的球心到平面的距离为，

故外接球半径为，表面积为，

故答案为：

16．

【分析】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解.

【详解】由函数，可得，

设切点坐标为，可得，则切线方程为，

即，与公切线重合，可得，

可得，所以切线方程为，

对于函数，可得，设切点为，则

则 ，解得.

故答案为：

17．(1)，

(2)是，理由见解析

(3)，

【分析】（1）对等式进行因式分解可得递推关系，判断数列为等比数列，得到通项公式，代入求出的通项公式，即可求出结果；

（2）由（1）中的通项公式作差即可证明；

（3）由等差数列前项和公式可求出结果.

【详解】（1），当时，，，

可得，

则或，因为为正项数列，所以.

数列为首项为1，公比为2的等比数列，

可得；

，

，；

（2）数列为等差数列，理由：，

则数列为首项为0，公差为1的等差数列；

（3） ，

前项和为．

18．（1）（2）.

【分析】（1）由已知结合二倍角公式可求，，然后结合两角和的正弦公式即可求解；

（2）由已知结合正弦定理及余弦定理，即可求得的值.

【详解】（1）在中，因为，所以，

所以，，

所以；

（2）因为，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，，

所以．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式及和差角公式在求解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．

19．(1)E为棱PC的中点

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，待定系数法表示出点坐标，由空间向量求解

（2）由垂直关系解出点坐标，再由空间向量求解

【详解】（1）∵，，，

∴，，

如图，以A为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，

可得，，，，

设点E为棱PC上的点，且.

向量，，且

∴，，

∴

∴，，

若故.

∴，∴即

∴E为棱PC的中点.

（2），，，

由点F在棱PC上，设，故，

由，得,，

解得，即.

设为平面ABF的法向量，

则，即，

不妨令，可得为平面ABF的一个法向量.

取平面PAB的法向量，

则.

易知，二面角是锐角，

∴其余弦值为.

20．(1)，

(2)

(3)分布列见解析，期望为

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，结合比较两个频率分布直方图得到实体店销售量比网店更集中､稳定，即可求解；

（2）由题意，设恰好选到一人是男性为事件A，进而求得其概率；

（3）由题意，得到随机变量，求得随机变量的取值和相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.

【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得，

通过比较两个频率分布直方图可知，实体店销售量比网店更集中､稳定，故．

（2）解：由题意，从这10名顾客中随机选2人进行服务回访，设恰好选到一人是男性为事件A，可得，即恰好选到一人是男性的概率.

（3）解：由题意，实体店销售量不低于30件的概率为0.4，所以盈利的概率为0.4，

故的可能取值为0，1，2，3．

可得相应的概率为：，，，，

随机变量分布列为

因为，所以期望为．

21．(1)

(2)证明见解析，定点，△APQ面积的最大值为．

【分析】（1）根据题意可得，再结合，即可解出，从而得出椭圆C的方程；

（2）依题可设 ，再将直线方程与椭圆方程联立，即可得到，然后结合，可找到的关系，从而可知直线PQ经过定点，于是△APQ面积等于，即可求出其最大值．

【详解】（1）依题可得，，解得，所以椭圆C的方程为．

（2）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设 ，，，由可得，，所以，，，而，即，化简可得，①，

因为，所以，

令可得，②，

令可得，

③，

把②③代入①得，，化简得，所以，

或，，所以直线 或，因为直线不经过点，所以直线经过定点．

设定点，所以，

，因为，所以，

设，所以，

当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．

22．(1)；

(2)①答案见解析，②.

【分析】（1）利用导数的几何意义求在处的切线方程；

（2）①由题设可得且，讨论、、、研究的符号，即可确定单调性；②构造，利用导数研究在上恒成立，结合分类讨论方法求a的范围.

【详解】（1）由题设，，则，

所以，而，

则在处的切线方程为，整理得.

（2）①由且，

当时，在上，上，

当时，在上，上，上，

当时，在上，

当时，在上，上，上，

综上，时在上递减，上递增；

时在上递增，上递减，上递增；

时在上递增；

时在上递增，上递减，上递增；

②令，

问题转化为在上恒成立，而，

由①知：当时，在上，即递增，

所以，只需，可得；

当时，在上，递减；上，递增，

所以，只需，可得，

综上，.