广东省六校（广州市第二中学等）2024届高三上学期第二次联考数学试题（月考）

这是一份广东省六校（广州市第二中学等）2024届高三上学期第二次联考数学试题（月考），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海--中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数  学命题人：广州二中  张和发 审题人：陈景文  孙晓荣一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知，则（    ）A． B． C． D．3．“且”是“且”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件4．如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（    ）A． B． C． D．5．已知，，，，则（    ）A． B． C． D．6．已知函数，其中．若函数在上为增函数，则的最大值为（    ）A． B． C． D．27．若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中，为正实数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ）A．2是函数的一个周期B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点中心对称D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（    ）A．  B．C．  D．10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ）A．函数的图象的一个对称中心为B．函数是奇函数C．函数在上的单调递减区间是D．函数的图象的一个对称轴方程为11．已知函数，给出下列四个结论中正确结论为（    ）A．若，则有两个零点 B．，使得有一个零点C．，使得有三个零点 D．，使得有三个零点12．已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知定义域为，值域为，且，写出一个满足条件的的解析式是__________．14．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为__________．15．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为__________小时，角的正弦值为__________．（对一个得3分，全对得5分）16．若存在两个正实数，使等式成立，（其中…）则实数的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）已知中角，，的对边分别为，，，满足．（1）求的值；（2）若，，求的面积．18．（本小题12分）如图为一块边长为的等边三角形地块，现对这块地进行改造，计划从的中点出发引出两条成角的线段和（，，分别在边，上），与和围成四边形区域，在该区域内种上花草进行绿化改造，设．（1）当时，求花草绿化区域的面积；（2）求花草绿化区域的面积的取值范围．19．（本小题12分）已知为的内角，函数的最大值为．（1）求；（2）设，且，若方程在内有两个不同的解，求实数取值范围．20．（本小题12分）已知函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时．21．（本小题12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）证明：对任意的，，有．22．（本小题12分）已知函数．（1）求在上的最大值；（2）已知在处的切线与轴平行，若存在，，，使得，证明：．  东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112BAADDACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13．，或者，或者或者…14． 15．2， 16．四、解答题17．【解析】（1）解法一：．由正弦定理得，所以，由于，所以，则．因为，所以，．因为，所以．解法二：因为．所以由余弦定理得，化简得，所以．因为，所以．（2）由余弦定理，及，，，得，即．所以．所以的面积．18．【解析】（1）当时，，，四边形为平行四边形，则和均为边长为的等边三角形，又，．绿化面积为：．（2）方法一：由题意知：，，，在中，，由正弦定理得：．在中，，，由正弦定理得：，．令，，， ，，，在上单调递减；在上单调递增．即，，即花草地块面积的取值范围为．方法二：由已知得，，又，所以，在和中有：，，，得，又是的中点，，，且当在点时，，所以，所以，设，，且，令，则，时，，在单调递减，时，，在上单调递增，时，有最小值2，当或时，，所以面积的取值范围是．19．【解析】（1）．．故，故．因为，故．（2），故，令，，则的图象如图所示：可得，方程在内有两个不同的解，又，下面考虑在上的解的情况．若，则或（舍）当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，舍．若，则或，此时在有两个不同的实数根，，当时，则，，要使得方程在内有两个不同的解，则，．令，则，解得．综上，的取值范围为：．20．【解析】（1）的定义域为，．当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，当满足且时，即若，时，；若，时，；则．另法：时，，所以，且在上是连续的，所以必存在使得，又即有，故当时存在唯一零点．（2）当时由（1），可设在的唯一零点为，当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为．由于，所以．故当时，．21．【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为，又，切线斜率，切线方程为．（2）令，则，令，则，在上单调递增，，在上恒成立，在上单调递增．（3）解：待证不等式等价于，令（，），只需证，，．由（2）知在上单调递增，，，在上单调递增，又因为，，，所以命题得证．22．【解析】（1），当时，则对任意恒成立，即恒成立．所以在单调递增．则的最大值为；当时，令，即，当，即时，当时，，在上单调递增．当时，，在上单调递减，．当，即时，对任意恒成立，即恒成立，所以在单调递增．则的最大值为；综上所述：当时，；当时，．（2）因为在处的切线与轴平行，所以，则，即．当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减．又因为时，有，时有，根据图象可知，若，则有；要证，只需证；又因为，所以；因为在上单调递减，从而只需证明，只需证．只需证，设，，则．由的单调性可知，．则，即．所以，即在上单调递增．所以．从而不等式得证．