广东省七校2025届高三上学期第二次联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省七校2025届高三上学期第二次联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,若,且,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
2．函数图像的一条对称轴为,则( )
A.B.C.D.
3．在等差数列中,已知,,,则( )
A.7B.8C.9D.10
4．已知正数a,b满足,则的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
5．在杭州亚运会上,我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌,他射击的方向向量,另一名选手余浩楠射击的方向向量,若,则( )
A.B.C.D.16
6．研究数据表明,某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系.现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本,设数学、物理、化学成绩分别为变量x,y,z若x,y的样本相关系数为,y,z的样本相关系数为,则x、z的样本相关系数的最大值为( )
附:相关系数
A.B.C.D.1
7．在直四棱柱中,,,点Q在侧面内,且,则点Q轨迹的长度为( )
A.B.C.D.
8．已知，，当时，，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,且每人只安排一个工作,则下列说法正确的是( )
A.不同安排方案的种数为
B.若每项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为
C.若司机工作不安排,其余三项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为
D.若每项工作至少有1人参加,甲不能从事司机工作,则不同安排方案的种数为
10．如图,在棱长为4的正方体中,E,F分别是棱,的中点,P是正方形内的动点,则下列结论正确的是( )
A.若平面CEF,则点P的轨迹长度为
B.若平面CEF,则三棱锥的体积为定值
C.若,则点P的轨迹长度为
D.若P是棱的中点,则三棱锥的外接球的表面积是
11．已知抛物线的焦点为F,A,B,P为抛物线C上的点,,若抛物线C在点A,B处的切线的斜率分别为,且两切线交于点M.N为抛物线C的准线与y轴的交点.则以下结论正确的是( )
A.若,则
B.直线PN的倾斜角
C.若,则直线AB的方程为
D.的最小值为2
三、填空题
12．已知i为虚数单位,是实系数一元二次方程的一个虚根,则________.
13．已知函数,数列满足,,,,则________.
14．函数在区间上的零点个数为____________个.
四、解答题
15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S,且
（1）求角A;
（2）若为锐角三角形,且,求a的取值范围.
16．在如图所示的实验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且他们所在的平面互相垂直,活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,及
（1）求MN的长;
（2）a为何值时,MN的长最小,最小值是多少?
（3）当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
17．传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术.传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成.其中较难掌握的是触球时的手型,因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性,对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指,手腕的弹力.从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出.
（1）记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列;
（2）若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练,且第1次由小胡将球传出,记n次传球后球在小胡手中的概率为,,2,3,….
①直接写出,,的值;
②求与的关系式,并求.
18．已知函数.
（1）求函数,的值域;
（2）若不等式在上恒成立,求k的取值范围;
（3）当时,函数的值域为,求正数m的取值范围.
19．已知双曲线的实轴长为4,渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）双曲线的左､右顶点分别为,,过点作与x轴不重合的直线l与C交于P,Q两点,直线与交于点S,直线与交于点T.
（i）设直线的斜率为,直线的斜率为,若,求的值;
（ii）求的面积的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,又,
所以解得：
故选：D.
2．答案：A
解析：由的图象关于对称,
可知:,即,则.
故选:A.
3．答案：A
解析：由,可得,公差,
故,解得,
故选:A
4．答案：B
解析：,
当且仅当,时取等号.
故选:B.
5．答案：C
解析：因为,,
所以,.
因为,
所以
所以.
故选:C.
6．答案：B
解析：设,,,
则有,,,
由相关系数公式可知:,
设与夹角为,与夹角为,
由x,y的样本相关系数为,所以,,
由这两个夹角均为锐角且,所以与夹角的可能性是,,
则与夹角余弦值的最大值为,此时x与z样本相关系数最大,
即,
故选:B.
7．答案：C
解析：如图所示,过点作,过点E作,
因为四棱柱是直四棱柱,所以平面,
因为平面,所以,
又因为,,平面,平面,
所以平面,
因为直线平面,
所以,
因为,,
所以,
又因为,
所以,
因为点Q在侧面内,
所以在平面直角坐标系中来研究点Q轨迹的长度,如图所示:
点Q的运动轨迹为以点E为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧,
显然,,所以,
所以.
故选:C.
8．答案：D
解析：因为，所以在为增函数，由与图象知，在有唯一的零点，
当时，，当时，，
若，则在恒成立，与矛盾，故.
显然的定义域为且，且
因为，所以，均在单调递增，
所以当时，，因为，所以；
当时，，因为，所以，
所以当时，，，
即，
令，得，
所以当时，，单调增，
当时，，单调减，
故，
所以，当且仅当即时等号成立；
故选：D
9．答案：BD
解析：对A,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则不同安排方案的种数为,故A错误;
对B,先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,
则不同安排方案的种数为,故B正确;
对C,先将5人分为3组,有种分组方法,
将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作,有种情况,
则不同安排方案的种数是,故C错误;
对D,第一类,先从乙,丙,丁,戊中选出1人从事司机工作,再将剩下的4人分成三组,
安排翻译､导游､礼仪三项工作,则不同安排方案的种数为;
第二类,先从乙,丙,丁,戊中选出2人从事司机工作,
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作,
则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是,故D正确.
故选:BD.
10．答案：ABD
解析：对A选项,如图,
分别取,的中点N,M,
则易得,,,
,,
MN,平面MNDB,EF,平面CEF
从而易得平面平面CEF,
又P是正方形内的动点,且平面CEF,
P点的轨迹为线段,又,A选项正确;
对B选项,由A选项解题思路可知P点的轨迹为线段NM,,
三角形PEF的面积为定值,又D到平面PEF的距离也为定值,
三棱锥的体积为定值,B选项正确;
对C选项,如图,若,又,且平面,
则,
P点的轨迹是正方形内以为圆心,1为半径的四分之一圆弧,
P的轨迹长度为,C选项错误;
对D选项,如图,
若P是棱的中点,取PF的中点G,AC的中点H,
则,G到E,F,P的距离相等,又平面PEF,
三棱锥的外接球的球心O在GH上,
设,则,又,,
设三棱锥的外接球的半径为R,则,
在与中,根据勾股定理可得:
,解得,
,
三棱锥的外接球的表面积是,D选项正确.
故选:ABD.
11．答案：BCD
解析：由题,则向量,的夹角为,故F,A,B三点共线,
设,与C的方程联立得,设,,
则,,故,,
由抛物线的定义得,,
故,,,所以A错误;
设,,当时,直线PN倾斜角大于等于,
当时,,所以直线PN的倾斜角,B正确;
记直线AB的斜率为k,令,则,则,
又,所以,所以,又直线AB过点,故直线AB的方程为,C正确;
,又,所以,
同理,联立解得,即,又,
所以,当时,等号成立,所以的最小值为2,D正确;
故选:BCD.
12．答案：4
解析：是实系数一元二次方程的根,
也是实系数一元二次方程的根,
,,
解得,,故.
故答案为:4
13．答案：3
解析：由题意可知:的定义域为R,
且,即,
可知为定义在R上的奇函数;
且,
因为在R上单调递增,可知在R上单调递增;
综上所述:在R上单调递增,且为奇函数.
因为,则,
可得,即,
由可知:3为数列的周期,则,
且,所以.
故答案为:3.
14．答案：0
解析：
,
令,则,
则,
所以在上单调递增,所以,
所以函数在区间上的零点个数为0个.
故答案为：0.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以
所以,
所以,
故,又,
所以,
所以;
（2）由正弦定理得,
所以,
且,,
所以,
因为为锐角三角形,,,所以,
所以,即.
可得,
即a的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）当时,最小,最小值为
（3）
解析：（1）如图建立空间直角坐标系,
,,,,
因为,
所以,,
;
（2）,
当时,最小,最小值为;
（3）由（2）可知,当M,N为中点时,最短,
则,,取MN的中点G,连接AG,BG,
则,
因为,,
所以,,
是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角,
因为,,
所以
,
所以平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值是.
17．答案：（1）分布列见解析
（2）①,,;
②,,2,3,….;
解析：（1）X的所有可能取值为1,2,3,
所以,,,
所以X的分布列为
（2）①由题意知,,,.
②记表示事件“经过n次传球后,球在小胡手中”,,
所以
即,2,3,…
所以,且,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以,所以,
即n次传球后球在小胡手中的概率是.
18．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）依题意,,
由,得,则,
当,即时,;当,即时,,
所以函数在时的值域为.
（2）不等式,
当时,;
当时,,则恒成立,
又在上递减,在上的值域为,因此;
当时,,则恒成立,
又在上递减,在上的值域为,因此,
所以实数k的取值范围为.
（3）当时,在上单调递增,
又当时,值域为,
因此,即,
则a,b是关于x的方程,即的两个不相等的正根,
则,解得,
所以正数m的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）由题意知:,解得,双曲线方程为.
（2）因为直线l斜率不为0,设直线l方程为,易知,,
设,,联立,得,
则,且,
（i）
;
（ii）由题可得:,.
联立可得:,即,同理.
,
故,
且,
.
X
1
2
3
P