陕西省西安市鄠邑区东关初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

C（北师大版）

2023~2024学年度第一学期第一次阶段性作业

九年级数学

（建议完成时间：120分钟  满分：120分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.下列一元二次方程中，二次项系数为1且一次项系数为3的是（    ）

A. B. C. D.

2.关于矩形的性质，以下说法不正确的是（    ）

A.对角互补  B.是中心对称图形

C.是轴对称图形  D.对角线互相垂直

3.如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，顶点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是（    ）

A. B. C. D.

4.方程根的符号是（    ）

A.两根一正一负 B.两根都是负数 C.两根都是正数 D.无法确定

5.利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（    ）

A.， B.， C.， D.，

6.已知平行四边形，对角线与交于点，下列结论不正确的是（    ）

A.当时，它是矩形 B.当时，它是矩形

C.当平分时，它是菱形 D.当时，它是菱形

7.如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，，则的长为（    ）

A.3 B. C. D.

8.已知、、是的三边，并且关于的方程有两个相等的实数根，判断的形状，正确的结论是（    ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.若关于的方程是一元二次方程，则的值可以是______.（写出一个即可）

10.如图，在菱形中，，，则菱形的面积为______.

11.王刚同学在解关于的方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为______.

12.如图，在高3m，长4m的矩形墙面上有一块矩形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面.若矩形装饰板的面积为，设相同宽度的空白墙面的宽度为，根据题意列方程为______.

13.如图，在矩形中，，点是矩形内一点，连接、，，连接并延长交于点，点在上，连接，，若，则的长为______.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.（5分）解方程：.

15.（5分）如图，在矩形中，，，与交于点.求与的周长差.

16.（5分）关于的方程有实数根，且为正整数，求的值.

17.（5分）如图，在正方形中，、分别为、边上的点且，连接，延长至使得，延长交于点，求证：.

18.（5分）如图，在四边形中，，点是四边形内一点，连接、、，，，，求证：四边形是菱形.

19.（5分）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.

（1）请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；

（2）若是倍根方程，则______.

20.（5分）如图，点是菱形内的一点，连接，，平分，，.请判断四边形是正方形吗？并说明理由.

21.（6分）已知关于的一元二次方程.若一个面积为15的矩形的两邻边长正好是方程的两根，求该矩形的周长.

22.（7分）如图，菱形中，，点在边上，点在边上.若是的中点，连接、、，，求证：是的中点.

23.（7分）“唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻峨眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新的卡通形象示人.某文创产品店销售唐妞团扇，团扇的成本为8元/把.据市场分析，销售单价定为10元/把时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20把.针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元/把？

24.（8分）如图，在中，对角线，交于点，交延长线于点，交延长线于点.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若四边形为菱形，为的中点，连接，若，，求的长.

25.（8分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.

例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解.

再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，

解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为.

请仔细阅读材料，解下列方程：

（1）；

（2）.

26.（10分）问题解决：

（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，设、交于.请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

拓展探究：

（2）如图2，若将边长为4的正方形折叠，使得点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上，连接、，求折痕的长.

图1             图2

C（北师大版）

2023~2024学年度第一学期第一次阶段性作业

九年级数学参考答案及评分标准

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.A  2.D  3.A  4.C  5.D  6.B  7.C  8.B

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.0（答案不唯一）10.  11.，  12.（其他形式正确也可）13.3

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.解：，∴，，，，……（2分）

，所以，. ……（5分）

（注：其他解法正确也可）

15.解：∵矩形中，，，∴，，……（3分）

∴的周长的周长，

∴与的周长之差为2. ……（5分）

16.解：∵关于的方程有实数根，∴，……（3分）

∴，解得：，……（4分）∵为正整数，∴. ……（5分）

17.证明：∵四边形是正方形，∴，，

∵，∴，∵，∴，……（3分）

∴，∵，∴，

∴，∴. ……（5分）

18.证明：∵，，，∴，……（2分）

∴，∵，，∴，

∴四边形是菱形. ……（5分）

19.解：（1）方程是倍根方程，

理由如下：由方程，解得，，……（2分）

∴，∴方程是倍根方程. ……（3分）

（2）1或4. ……（5分）

20.解：四边形是正方形.理由如下：

∵，∴，，……（2分）

∴，∴，……（3分）

∵平分，∴，∴四边形是正方形. ……（5分）

21.解：设矩形两邻边长分别为：，，

∵矩形面积为15，∴，∴，……（2分）

解得，（舍去），∴原方程化为，……（4分）

∴矩形的两邻边长之和为9，∴矩形的周长为18. ……（6分）

22.证明：连接，

∵在菱形中，，∴，. ……（2分）

∴等边三角形.∴是的中点，∴. ……（3分）

∵，∴.

∴.∴. ……（6分）

∴.∵，∴，∴是的中点. ……（7分）

23.解：设销售单价应定为元，所以每把团扇盈利元，

由题意可得，，……（3分）

解得：，，……（6分）

因为要让顾客得到实惠，所以取，∴销售单价应定为12元/把. ……（7分）

24.（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴.

∵，∴四边形是平行四边形. ……（2分）

∵，∴，∴四边形是矩形. ……（4分）

（2）解：∵四边形是菱形，∴，，……（5分）

∵四边形是矩形，∴，∴，……（6分）

∵，∴，∴，

∵为的中点，∴，∴是的中位线，∴. ……（8分）

25.解：（1），，……（1分）

∴或. ……（2分）

解方程，得或，∴，，. ……（4分）

（2），方程两边平方，得，……（5分）

即，整理，得.解得，. ……（7分）

经检验，是原方程的解.∴原方程的解为. ……（8分）

26.解：（1），且.理由如下：

∵四边形是正方形，∴，，

在和中，∴，……（2分）

∴，. ……（3分）

∵，∴，

∴，∴，∴，且. ……（5分）

（2）如图，过点作于，

在正方形中，，∴，

∴四边形是矩形，，由翻折变换得，

∵，，∴. ……（6分）

∵四边形是正方形，∴，，

∴，，∴，

∵，∴，……（8分）

∴.∵点是的中点，∴，

在中，由勾股定理得，，∴的长为. …（10分）