湖南省衡阳市名校联考联合体2024届高三高考考前仿真联考一数学试题

这是一份湖南省衡阳市名校联考联合体2024届高三高考考前仿真联考一数学试题，共14页。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知非零向量满足，若，则实数的值为（ ）
A.1或-1 B.2或-2 C.1或2 D.-1或2
4.已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（ ）
A. B.2 C. D.6
7.将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.2
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：
则下列结论正确的是（ ）
A.产品定价的平均值是10元
B.产品定价与销量存在正相关关系
C.产品定价与销量满足一元线性回归模型
D.产品定价与销量的相关系数
参考公式：.
参考数据：.
10.已知抛物线过点，其焦点为，过点作两条互相垂直的直线，直线与抛物线相交于两点，直线与相交于两点（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为
B.抛物线的准线方程为
C.和面积之和的最小值为7
D.和面积之和的最小值为8
11.已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（ ）
A.函数的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.若，则
D.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知函数图象过点，则__________；若函数的图象关于点中心对称，则__________.
13.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，则该几何体的体积为__________.
14.已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
在三角形中，角所对的边长分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求三角形的面积.
16.（本小题满分15分）
如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值.
18.（本小题满分17分）
某电竞平台开发了两款训练手脑协同能力的游戏，款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.款游戏规则是：共设计了，且关，每位玩家都有次闯关机会，每关闯关成功的概率为，不成功的概率为，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩两款游戏.
（1）电竞游戏玩家甲玩款游戏，若第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
（2）电竞游戏玩家甲玩款游戏，记玩家甲第次闯关获得的分数为，求关于的解析式，并求的值.（精确到0.1，参考数据：.）
19.（本小题满分17分）
已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间的最大值和最小值；
（3）证明：.
2024年高考考前仿真联考一
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 【解析】因为，又，所以.故选B.
2.D 【解析】因为，所以为纯虚数即且，即且.故选D.
3.A 【解析】由，故选A.
4.D 【解析】令函数，该函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，要使在上单调递增，则在上单调递增，且时，，故，，
5.D 【解析】对于选项：若，则与平行或相交，故A不正确；
对于选项B：若，则与可平行､异面或相交，故B不正确；
对于选项C：若，则或，故C不正确；
对于选项D：若，则，又，则，即D正确.故选D.
6.B 【解析】由椭圆得，因为点为椭圆上的点，则，直线经过定点，，当且仅当在线段上时取等号，所以的最大值为2.故选B.
7.A 【解析】依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，从8个空位中选2个放语文书，剩余6个放数学书，故总的排放方法有：种；利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，放法有种，所以所求概率为.故选.
8.A 【解析】当过两点的圆与圆相切于点时，最大，设，则有或（舍去），，易知此时四点共线，此时，选A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ACD 【解析】由题条件得.
.
与的相关系数近似为-0.99，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系.所以选项ACD正确，故选ACD.
10.AD 【解析】由已知可得抛物线的方程为，其准线方程为，所以选项A正确，B错误；
由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，
设，直线的方程为，联立
即①，所以，
设，由已知直线的斜率为，代入①中，得，
所以和面积之和为
，
当且仅当，且时等号成立，所以和面积之和的最小值为8.
所以选项C错误，D正确，故选AD.
11.ACD 【解析】对于选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，则，所以函数的图象关于直线对称.故A正确；
对于选项B：因，
故的图象关于直线对称，故B错误；
对于选项C：因为，所以，
从而，
而，则，
即，所以，故C正确；
对于选项D：因为的图象关于直线对称，所以，
设，则，
又设，则有，从而在上单调递增，
则，即在上单调递增，，
故有恒成立，则，
又因在上单调递减，则在上单调递增，又，
故，即：，故D正确.故选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.；（第一空2分，第二空3分） 【解析】因为点在的图象上，所以，又，所以.因为图象的一个对称中心是，所以，则.又，所以，故.
13. 【解析】设分别为的中点，连接，
因为，所以，且，
所以平面，所以平面平面，
由，所以，
设中点为，连接，则平面，又，
所以.
故几何体的体积为.
14.7 【解析】因为，
两式相减得：，即.
两边同除以可得，又，得，满足，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，
即，所以，
因为，
令，则，所以数列单调递增，因为，所以当时，，即；当7时，，即.所以的最小值为7.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）因为，
因为，则，
所以，由正弦定理得.
（2）由（1）有，可得，又，
由余弦定理可得，
又，所以，
所以面积为.
16.【解析】（1）如图，设交于点，连接，
在圆锥中，底面圆，所以，
又等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，为直径，所以，
所以，所以，
可知，即是的中点，
又是母线的中点，所以，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在等腰三角形中，
又，所以，
所以，
，
设平面的法向量为，
则即令，则.
设直线与平面所成的角为，则
.
17.【解析】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即，
所以，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
解得，
故双曲线的方程为.
（2）设直线与双曲线交于，点，
因为存在实数且，使得，
所以，
，
整理得：①，②，
得③，
同理④，⑤，
得⑥，
由于双曲线上的点的坐标满足，
③-⑥得，
即，又，所以，
表示点在直线上.又也在直线上，
所以直线的斜率为（定值）.
18.【解析】（1）记事件表示第次通过第一关，事件表示第次通过第二关，
设甲可以进入第三关的概率为，
由题意知
.
（2）依题意得，
所以，
，
又随机变量的可能取值为10，5，其分布列为
所以，得，
所以为等比数列.其中首项为，公比为.
所以，即.
所以.
19.【解析】（1）由，得，
所以，
因为函数在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
（2）由（1）得，所以，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
.
（3）由，得在上恒成立.
令，可得，
令，可得，
当时，，所以在单调递减，
当时，在单调递增.
又，
，
所以在中存在唯一的使得，在中存在唯一的使得，即有.
因为在单调递减，在单调递增，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，.
又，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以时，的极小值为，①
时，的极小值为.
因为，
可得，所以，
即，所以.
将和代入①得，
同理可得，所以，所以，
所以
故成立.产品定价（单位：元）
9
9.5
10
10.5
11
销量（单位：万件）
11
10
8
6
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
D
D
B
A
A
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
ACD
10
5