江苏省盐城景山中学2023-2024学年九年上学期第一次月考数学试卷（月考）

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2023年秋学期初三年级第一次课堂检测
数学试卷
考试时间:120分钟卷面总分:150分命题人:施小芳审核人:韩国胜
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列函数中，y是x的二次函数的是 （ ）
A. y＝ax2+bx+c B.y＝2x C.y＝x+1 D. y＝ - 3x2
【难度】：基础题
【考点】：二次函数的定义
【易错点】：定义形如y＝ax2+bx+c（a≠0），考生经常忽略这个内容
【详情解析】：A：其中必须说明a≠0，否则不能说明是二次函数，故错误
B和C：y＝2x与y＝x+1 都是一次函数
D：满足二次函数的定义
答案：D
【提优突破】：熟练掌握二次函数的定义，用二次函数定义和一次函数区别解题
2.在献爱心活动中,五名同学捐款数分别是20,20,30,40,40（单位:元），后来每人都追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（　　）
A.平均数 B.方差 C.中位数 D.众数
【难度】：基础题
【考点】：平均数、方差、中位数、众数的定义
【易错点】：方差定义和中位数
【详情解析】：A：平均数的定义为：所以，其中数改变，平均数改变
B：方差的定义：，所以保持不变
C和D：中位数和众数肯定改变，因为其中的数字在变化
答案：B
【提优突破】：熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的定义，重点理解方差的变化
3.一元二次方程2x2-1＝4x化成一般形式后，常数项是-1，一次项系数是（　　）
A.2 B. - 2 C.4 D.-4
【难度】：基础题
【考点】：一元二次方程的一般形式：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
【易错点】：一般形式中的系数问题，右边为0
【详情解析】：一元二次方程变形后为：，二次项系数为2，一次项系数为-4，常数项为-1
答案：D
【提优突破】：熟练掌握一元二次方程的一般形式，重点掌握各项系数，不忽略符合问题
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是 （）
A.65° B.115° C.130° D.140°








【难度】：基础题
【考点】：圆的性质、圆内接四边形性质、圆周角与圆心角关系
【易错点】：圆内接四边形内对角互补，一个外角等于其内对角
【详情解析】：因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠DCE，因为∠DCE=65°，所以∠BAD=65°，所以∠BOD=130°
答案：C
【提优突破】：熟练掌握圆的相关性质，多边形与圆的问题，学会举一反三
5.关于x的一元二次方程x2+mx-8＝0的根的情况是
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【难度】：基础题
【考点】：一元二次方程实数根的判定
【易错点】：的情况；＞0，有两个不相等实数根；=0有两个相等实数根；＜0无实数根；≥0有实数根
【详情解析】：题目中=m2+32；m2≥0，所以m2 +8＞0，故有两个不相等实数根
答案：A
【提优突破】：熟练掌握根的判定的应用，区别有无实数根和有实数根以及有两个不相等实数根的内容
6.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，-1），则△ABC外接圆的圆心坐标是
A.（1，3） B.（3，1） C.（2，3） D.（3，2）
【难度】：基础题
【考点】：三角形外接圆的定义，三角形三边垂直平分线的交点为外接圆的圆心
【易错点】：三角形的外接圆和内接圆的定义区别
【详情解析】：根据题目坐标确定，垂直平分线的交点，所以圆心为（3,1）
答案：B
【提优突破】：熟练掌握圆的内接三角形和外接三角形问题，内心和外心不能混淆
7.某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是
A.25（1+x）2＝64 B.25（1+x2）＝64
C.64（1-x2）＝25 D.64（1-x2）＝25
【难度】：基础题
【考点】：一元二次方程实际应用问题，增长率问题
【易错点】：什么是增长率、列方程的关系式
【详情解析】：根据题目8月25万，10月64万，10月是在8月的基础上增长的，故关系式为：25（1+x）2＝64
答案：A
【提优突破】：熟练掌握一元二次方程实际应用问题，熟悉增长率、面积等相关问题
8.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是58°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台数为
A.2 B.3 C.4 D.5
【难度】：中等题
【考点】：圆心角和圆周角实际问题
【易错点】：不理解题目意思、圆周角和圆心角关心不明确
【详情解析】：根据题目:设需要n台，则58°x2n≥360，则n=，所以n取4,
答案：C
【提优突破】：熟练掌握圆的应用问题，理解题目意思，学会实际问题联想数学问题解题
二、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
9.已知一元二次方程2x2-mx+4＝0的一个根是1，则另一个根是▲.
【难度】：基础题
【考点】：含参一元二次方程问题
【易错点】：求根公式、韦达定理中的符合和公式混淆
【详情解析】：方法一：把x=1代入方程，得2-m+4=0,求得m=6，得方程为:2x2-6x+4=0,则（x-1）（x-2）=0，则x1=1，x2=2，所以另一个根为2；
方法二：根据韦达定理，则另一个根为2
答案：2
【提优突破】：熟练掌握求根公式、韦达定理，学会巧用韦达定理解题
10.已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P与⊙O的位置关系为▲.
【难度】：基础题
【考点】：点与圆的位置关系
【易错点】：区别点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系
【详情解析】：op=4小于6，则点到圆心的距离小于半径，则点在圆内
答案：点p在圆内
【提优突破】：熟练掌握圆与点的位置关系，利用距离比较解题
11.如图，一个可以自由转动的圆形转盘被等分成6个相同的扇形区域，并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是▲。










【难度】：基础题
【考点】：基础概率问题
【易错点】：等可能性、概率计算
【详情解析】：p=2/6=1/3
答案：
【提优突破】：熟练掌握基础概率计算
12.若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为cm2.（结果保留π）
【难度】：基础题
【考点】：圆锥侧面积
【易错点】：圆锥侧面积公式及应用
【详情解析】：，所以s=6π
答案：6π
【提优突破】：熟练掌握圆锥侧面积计算公式的应用，区别公式中字母的意义
13.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的半径是▲.
【难度】：基础题
【考点】：正多边形与圆的相关计算
【易错点】：圆周长、圆心角问题
【详情解析】：圆周长是12π，则圆半径为6
答案：6
【提优突破】：熟练掌握正多边形与圆的相关计算，半径，多边形的边长，垂径定理和圆周角圆心角相互联系
14.已知某组数据方差为S＝14[（2-x）2+（3-x）2+（3-x）2+（8-x）2]，则x的值为_____.
【难度】：基础题
【考点】：方差与平均数关系
【易错点】：方差的定义、方差公式的应用
【详情解析】：根据题意的，这组数据为2,3,3,8，这平均数为（2+3+3+8)÷4=4,
答案：4
【提优突破】：熟练掌握差与平均数关系，熟悉公式的含义
16.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，18.若⊙P沿着x轴作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是▲.
【难度】：难题
【考点】：圆的综合应用
【易错点】：圆的性质、旋转、垂径定理应用
【详情解析】：如右图所示，过p做PG⊥y轴，
PA⊥PH，HI⊥PB，根据题目得B坐标为（18,10）根据垂径定理得GA=6，GP=8，△APG≌△PHI，所以HI=8，H点坐标为（14,18）
第一种情况：沿顺时针滚动，B至B1，P至P1，A至A1，FB1=5π，所以A1点相当于H点向右平移5π单位长度，则A1（14+5π，18）
第二种情况：沿逆时针滚动，相当于H点向左平移20π-5π单位长度，则A1（14-15π，18）
答案：（14+5π，18）或（14-15π，18）
【提优突破】：熟练掌握圆的相关问题，圆中动点问题；巧妙应用动变静的思想解决同类题
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（本题满分6分）
解下列方程:
（1）（3x -1）2＝2（3x-1）; （2）2x2-4x+1＝0.

【难度】：基础题
【考点】：一元二次方程解法
【易错点】：公式法和因式分解法，
【详情解析】：
【提优突破】：熟练掌握一元二次方程的解法，尤其是因式分解和公式法的解题思路和区别，不能不略因式分解两边都有同一因式，直接相除的情况
18.（本题满分6分）

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E， AC＝12,求AE的长.



【难度】：基础题
【考点】：圆的性质及简单应用
【易错点】：圆周角、平行线判定与性质
【详情解析】：如右图所示，连接BC,OE
∵AB是⊙O的直径，OA为⊙D的直径
∴∠C=∠AEO=90°
∴OE∥BC
∴AO：AB=AE：AC
∵OA=½AB
∴AE=½AC=5
【提优突破】：熟练掌握圆的基础计算，半径、圆周角定理等
19.（本题满分8分）
已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0.
（1）求证:方程总有两个不相等的实数根;
（2）若方程的两个实数根分别为a，β，且a+2β＝5，求m的值.

【难度】：基础题
【考点】：一元二次方程根及根与系数的关系
【易错点】：根断根的情况及韦达定理
【详情解析】
（1） 根据题目得
a=1，b=-2，c=-3m2
b2-4ac=4+12m2 ≥4
∴方程总有两个不相等的实数根
（2） 根据韦达定理得

∵
∴
∵
∴
【提优突破】：熟练掌握一元二次方程根及根与系数的关系，韦达定理得灵活应用很关键，多理解思路，看到根，看到系数问题就联想根与系数的关系
20.（本题满分8分）
把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如:如图摆放的算珠表示数210.
（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率
是___________________;
（2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是两位数的概率.



【难度】：基础题
【考点】：概率公式、树状图和列表法求概率
【易错点】：树状图和列表法求概率
【详情解析】
（1） 若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成三位数的概率为⅓
（2） 画树状图如下






所以构成两位数的概率为⅓
【提优突破】：熟练掌握树状图和列表的画法
21.（本题满分8分）
某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如表（数据分为5组:0≤x＜60， 60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）;

分组
0≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
合计
频数
2
5
15
a
8
50





b.八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下:81，81，82，82，83.
c.七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如表:

年级
平均数
中位数
众数
七
72
79
85
八
77
b
83






根据以上信息，回答下列问题:
（1）表中a＝_______，b＝_______.
（2）你认为哪个年级的课后延时服务开展得较好？并说明你的理由.
（3）这次八年级家长甲的评分是80分，乙说:“甲的评分高于平均数，所以甲的评分高于一半家长的评分.“你认为乙的说法正确吗？请说明理由.
【难度】：基础题
【考点】：统计图、中位数、众数、平均数等
【易错点】：频数分布表
【详情解析】
（1）a=50-2-5-15-8=20
根据题目b=(82+83)÷2=82.5
（2）八年级课后延时服务开展的较好，
理由：八年级的服务平均数高于七年级的，整体表现较好
（3）不认同哦；理由自述合理即可
【提优突破】：熟练掌握统计的相关知识，联系与区别之间的关系
22.（本题满分10分）
如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,CE⊥AB于点E,BD交CE于点F.
（1）求证:CF＝BF;

（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长.


【难度】：基础题
【考点】：圆的基本内容、圆心角、圆的性质等
【易错点】：圆周角及圆心角相互转化
【详情解析】
（1）∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠A=90°-∠ABC
∵C是弧BD中点
∴CD=BC
∴∠A=∠CDB=∠DBC
∵CE⊥AB
∴∠CEB=90°，∠ECB=90°-∠CBE
∴∠A=∠ECB
∴∠ECB=∠DBC
∴CF=BF
(2)由第一问得

∴AB=10
∴圆的半径为5
∵BCxAC=CExAB
∴CE=24/5
【提优突破】：熟练掌握圆的基本性质，相关计算，尤其是圆周角、垂径定理，圆中的全等问题
23.（本题满分10分）
光明中学准备在校园里利用围墙（墙长15m）和45m长的篱笆墙围建劳动实践基地.该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）:利用围墙和篱笆围成I，II两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽度EH＝1m的水池.已知CG＝2DG.若设DG长度为xm
（1）则AD的长度为_____m，（用x的代数式表示）
（2）若劳动基地的总面积（不包含水池）为124m2，则DG的长是多少？


【难度】：基础题
【考点】：一元二次方程应用
【易错点】：列方程
【详情解析】
（1） 设DG的长为x cm,则CG=2x cm

所以AD=
（2）
解得x=4

【提优突破】：熟练掌握一元二次方程的应用，考虑实际的情况
24.（本题满分10分）
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）尺规作图:作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）:
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝6，求⊙O与△ABC重叠部分的面积.






【难度】：中等题
【考点】：作图、直角三角形问题、扇形面积问题
【易错点】：扇形面积问题
【详情解析】
（1）作∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DO⊥AC，交AB于点0，以O为圆心，OB为半径作⊙0，即可;
（2）解:∵∠ABC=60°,AB=6，OD是⊙O的切线，
∴∠A=30°
∴DO=OB=½AO,
∴AO+OB=3OB=6
∴OB=2
如图所示，设⊙O交BC于点E，连接OE，








∵∠ABC=60°,OB=OE, △OBE是等边三角形，
如图所示，过点E作EFLBO于点F，





∴∠OEF=30°
∴0F=½OE=1
在Rt △OEF中，EF=
∴
⊙0与△ABC重部分的面积为S△EOB +S扇形DOF=+
【提优突破】：熟练掌握尺规作图，这也是近几年考试的热点，多思考几何的性质由来，推到过程，再结合题目要求熟练应用相关知识做题
25.（本题满分10分）
问题:
已知实数a、b、c满足a≠b，且21（a-b）+21（b-c）+（c-a）＝0，求（b-c）（c-a ）（a-b）2）的值.
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚，小刚审题后思考了片刻，对小明说:我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考:
令21＝x，则21＝x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程:
（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）＝0（a≠b）.
可以发现:（a-b）×12+（b-c）×1+（c-a）＝0.
从而可知构造的方程两个根分别是1和21.利用根与系数的关系得:1+21 ＝_____________________; 1×21＝_____________________，
…请你根据小刚的思路完整地解答本题.
【难度】：难题
【考点】：一元二次方程应用，韦达定理、能力迁移
【易错点】：韦达定理及能力变迁，阅读理解
【详情解析】

【提优突破】：熟练掌握新定义和方法迁移的解题思路，多模仿题目的做题过程，同时考虑数学中的存在情况，变未知的知识成已知的内容解题

26.（本题满分12分）
如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝13，点P在半径OB上，连接AP.
（1）把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q.
① 当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长;
② 如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C，过点Q作QH⊥OA，垂足为 H, AH＝3、求AC的长;
（2）如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧AE与OA交于点F，若OF＝3，求PO的长.








【难度】：难题
【考点】：圆的综合考察
【易错点】：圆的性质、折叠问题
【详情解析】
(1) 连接OQ,由翻折得OA=AQ
∴△AOQ为等边三角形
∴∠AOQ=60°
∴AQ弧长为：
②过O作OG⊥AQ
∴AG=GC
∵翻折
∴AO=AQ
在△AOG与△AQH中

∴△△AOG≌△AQH
∴AG=AH
∴AC=2AH
∵AH=3
∴AC=6


（2） 如图所示，将AOP沿着AP翻折得△AQP
过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥OH，垂足为点D
四边形OHDP是矩形
由折叠和 (1) 可知，AH =FH
∵OF=3,
∴AH = FH = 5
∴OH=PD =8,
Rt△QHA中，
,
【提优突破】：熟练掌握圆的综合应用，利用题目中相关的解题思路延伸做题，巧妙的结合给的思路和定义理解不同题型的解法，学会从已知题目中找未知题的解题方法和思路
27.本题满分14分）
在平面直角坐标系 xOy 中， ⊙O 的半径为2.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义:若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦 AB 的“关联点”.
（1）如图，点A（-2，0），B1（-2，2），B2（2，-2）.
① 在点C1（-2，2），C2（-22，0），C3（0，22）中，弦AB1的“关联点”是;
② 若点C是弦AB2的“关联点”，求点C的坐标;
（2）已知点M（0.6），N（1255，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”.记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接t的最小值和最大值






【难度】：难题
【考点】：圆及新定义的综合考察
【易错点】：圆的性质、切线、一次函数，平面直角坐标系
【详情解析】








(1)①由关联定义可知，若直线CA、CB中一条经过点O，另一条是⊙0的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，
∵点A(-2,0),B1（-2，2）点C1（-2，2）C2（-22，0），C3（0，22）
∴直线AC2经过点O，且B1C₂与⊙O相切，.C2是弦AB1的“关联点”，
∵C1（-2，2）,A(-2,0)的横坐标相同，且C1（-2，2）与B1（-2，2）都位于直线y = -x上，
∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O,:.C1是弦AB1的“关联点”;故答案为:C1，C2;
②:A(-2,0),B2（2，-2）
设C(a,b)，如图所示，共有两种情况，
a、若C1B2与⊙0相切，AC经过点O，
则C1B2，AC1所在直线为
解得
∴C1（22，0）
b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，
则直线C2B2，AC2所在直线为
解得
∴C2（-2，2）
综合上述：C点坐标为（-2，2）或（22，0）
（2）同第一问解题思路相同得，
【提优突破】：熟练掌握圆综合问题、新定义问题，这类题首先理解题目的定义和要求，根据他题目定义应用解题，同时要多联系已学知识，根据题目要求进行突破