【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1 第二章+常用逻辑用语（知识归纳+题型突破）试卷

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第二章 常用逻辑用语（知识归纳+题型突破）

1．能结合实例，判断所给语句是不是命题．能找出命题的条件与结论，并判断命题的真假．
2．理解充分条件与必要条件的意义．
3．理解充要条件的意义．
4．理解性质定理、判定定理与充要条件的关系．
5．理解全称量词与存在量词的意义．
6．会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假．
7．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．
8．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．

1．命题
(1)将可判断真假的陈述句叫作命题．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
(2)命题的理解：要判断一个语句是不是命题，先看给出的语句是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
2．定理、定义
(1)有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
(2)定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
3．充分条件、必要条件
如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件．
如果qp，那么p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
4．充要条件
(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p．
(2)如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s．
如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s．
5．全称量词和全称量词命题
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．
(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x)．
6．存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．
(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x)．
7．命题的否定
p(x)是对语句p(x)的否定，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．
8．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M，p(x)”．
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M，p(x)”．

题型一　命题与真假命题的判断
【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x；
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数．
【解析】(1)是命题，而且是真命题．
(2)是命题，且是假命题．如图所示，四边形ABCD中，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD，但四边形ABCD不是菱形．
(3)是命题，且是假命题．因为2是质数，但不是奇数．
(4)不是命题．因为x是未知数，不能判断真假．
(5)是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立．
(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题．
(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(8)是命题，且是假命题．如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．
思维升华
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．

巩固训练：
1．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)x≥16． (2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．
(3)空集是任何非空集合的真子集． (4)指数函数是增函数吗？
【解析】(1)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．
(2)是真命题．代入验证即可．
(3)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．
(4)不是命题．因为是疑问句无法判断真假．
2．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b．
其中是真命题的序号是________．
【答案】①④
【解析】①④是真命题；②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；③平行四边形不是梯形．

题型二　命题的条件与结论
【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)在△ABC中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直．
(3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形．
【解析】(1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC．
(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(3)若∠A＝∠B，则sin A＝sin B．
(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．
思维升华　
命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
巩固训练
1．指出下列命题中的条件p和结论q．
(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
(2)如果x∈A，则x∈A∩B．
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0．
【解析】(1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数．
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B．
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0．
2．(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
D．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
【答案】AB
【解析】命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C，D正确．

题型三　命题真假的判断
【例3】判断下列命题的真假：
(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根． (2)若A⊆B，则A∩B＝A．
(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等． (4)若x＋y>5，则x>2且y>3．
【解析】(1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题．
(2)当A⊆B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题．
(3)若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等，故两个三角形不一定全等，是假命题．
(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题．
思维升华　
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
巩固训练
1．判断下列命题的真假：
(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(2)若x>y，则x2>y2．
(3)若x>2，则x>1．
【解析】(1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题．
(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2 (3)对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题．
2．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
【解析】(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2．
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．

题型四　充分条件的判断
【例4】指出下列哪些题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB．
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10．
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0．
【解析】(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．
(2)对于实数x，y，因为x＝5且y＝10⇒x＋y＝15，所以由x＋y≠15⇒x≠5或y≠10，
故p是q的充分条件．
(3)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．
故(1)(2)(3)题中p是q的充分条件．
思维升华　
要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题．
巩固训练
1．下列各题中，p是q的充分条件的是________(填序号)．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
【答案】(3)
【解析】(1)∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0．∴p不是q的充分条件．
(2)∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．
(3)∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．
2．下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：ab≠0，q：a≠0 B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1 D．p：a>b，q：>
【答案】A
【解析】根据充分条件的概念逐一判断．

题型五　必要条件的判断
【例5】判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b．
(2)p：x＝y，q：x2＝y2．
(3)p：a＋5是无理数，q：a是无理数．
【解析】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，所以p是q的必要条件．
(2)由x2＝y2 x＝y，所以p不是q的必要条件．
(3)由a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的必要条件．
思维升华　利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}，且要分清是点集还是数集．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
巩固训练
1．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc．
【解析】(1)∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p．∴p是q的必要条件．
(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，即qp．∴p不是q的必要条件．
(3)∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p，∴p是q的必要条件．
(4)∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp，∴p不是q的必要条件．
2．“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”)．
【答案】必要

题型六　充分条件、必要条件的应用
【例6】已知p：实数x满足3a 【解析】p：3a 因为p⇒q，所以A⊆B，所以⇒－≤a<0．
所以a的取值范围是．
思维升华
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

巩固训练
1．已知p：实数x满足a0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】p：a 因为q⇒p，所以B⊆A，所以⇒a∈∅．
2．已知p：实数x满足3a 【解析】p：3a 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以⇒－1≤a<0．
所以a的取值范围是[－1，0)．

题型七　充要条件的判断
【例7】指出下列各题中，p是q的什么条件：
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：|x|>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0．
【解析】(1)∵p⇒q，但q p，∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(2)∵p⇒q，q⇒p，∴p是q的充要条件．
(3)∵pq，q⇒p，∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴|ab|＝ab不能推出ab＞0，
即pq，但q⇒p，∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件．
思维升华　
判断p是q的什么条件，关键是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．
巩固训练
1．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零；
(2)p：x>1，q：x≥0；
(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA．
【解析】(1)∵p⇒q，q p，
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(2)∵x＞1⇒x≥0，但x≥0x＞1，
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，
∴p是q的充要条件．
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分条件
C．必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，则x＝1．故选A．

题型八　全称量词与存在量词命题的识别
【例8】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°．
【解析】(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
思维升华　
(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．
(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．
巩固训练
1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．
【解析】(1)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0．
(2)存在量词命题．表示为∃一次函数，它的图象过原点．
(3)全称量词命题．表示为∀二次函数，它的图象的开口都向上．

题型九　命题真假的判断
【例9】判断下列命题的真假．
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意四边形的内角和为360°；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0．
【解析】(1)2是素数，但2不是奇数．所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题．
(2)是真命题．
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题．

思维升华　
判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．

巩固训练
1．判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)∀x∈R，x2>0．
【解析】(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题．如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是存在量词命题．
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0．故该命题是假命题．
(3)该命题是全称量词命题．x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题．
2．(多选题)下列命题中的真命题是(　　)
A．∀x∈R，|x|＋1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，<1 D．∃x∈R，5x－3＝2
【答案】ACD
【解析】A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；C项，当x>1时，<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确．

题型十　由命题的真假求参数范围
【例10】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅．
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3．
所以实数m的取值范围为[2，3]．
(2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2．
所以解得2≤m≤4．所以实数m的取值范围为[2，4]．

思维升华　
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围．
巩固训练
1．已知命题“∃x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
【解析】由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2．∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤．
即实数a的取值范围是．

2．已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．(4，＋∞) C．(－∞，0) D．[4，＋∞)
【答案】B
【解析】∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4．
3．∀x∈[1，5]，－2m＋3≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】令y＝(x∈[1，5])，由图象可知y∈，∴2m－3≤，
∴m≤，即m的取值范围为．

题型十一　全称量词命题的否定
【例11】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数．
【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°．
(2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(4)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：某个负数的平方不是正数．
思维升华　
全称量词命题否定的步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定结论：原命题中的“p(x)成立”改为“p(x)成立”．
巩固训练
1．写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0．
【解析】(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数．
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0．
2．已知命题p：∀x∈R，x2＋2ax＋a>0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】{a|a≤0或a≥1}
【解析】若命题p为假命题，则命题p的否定：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0为真命题，故Δ＝4a2－4a≥0，∴a≤0或a≥1，∴当p为假命题时，a的取值范围是{a|a≤0或a≥1}．

题型十二　存在量词命题的否定
【例12】写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
(3)∃x，y∈Z，x＋y＝3．
【解析】(1)命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋3>0．
∵∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，
∴命题的否定为真命题．
(2)命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0．
∵当x＝－1时，x3＋1＝0，∴命题的否定为假命题．
(3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
∴命题的否定为假命题．
思维升华　
存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论，即p：∃x∈M，p(x)成立⇒p的否定：∀x∈M，綈p(x)成立．命题的否定的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真．
巩固训练
1．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形．
【解析】(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．它为假命题．
2．已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围．
【解析】因为p的否定为假命题，所以p为真命题，即∃x∈R，x2－2x＋m＝0成立，即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤1．
故实数m的取值范围为{m|m≤1}．

题型十三　由命题真假求参数的值(取值范围)
【例13】已知p：∀x∈[－1，2]，x2－m≥0．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【解析】∵p的否定为假命题，∴p为真命题，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立．
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立．
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0，
即实数m的取值范围是(－∞，0]．
思维升华　
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或a (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或aymin(或a 巩固训练
1．已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【解析】因为p的否定为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}．(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
2．已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”，若此命题是假命题，则实数a的取值范围为________．若此命题是真命题，则实数a的取值范围为________．
【答案】{a|a<－2或a>2}　{a|－2≤a≤2}
【解析】因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定为：“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”．
当此命题是假命题时，其否定为真命题．
由于函数y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2．
所以实数a的取值范围是a<－2或a>2．
当此命题是真命题时，知Δ≤0，
则a2－4≤0，得－2≤a≤2．