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【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1 第四章 数列（知识归纳 题型突破）（试卷）
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第四章 数列（知识归纳+题型突破）
1．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是一种特殊的函数，了解数列的递推公式，并能简单应用．
3．能用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．
4．会求数列中的最大(小)项，能从函数的观点研究数列．
5．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
6．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题．
7．能根据等差数列的定义，推出等差数列的常用性质．能运用等差数列的性质简化计算．
8．探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．
9．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，在五个量(a1，d，n，an，Sn)中，会由其中三个求另外两个．
10．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题．
11．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
12．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题．
13．灵活应用等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系．
14．探索并掌握等比数列的前n项和公式及前n项和的性质．
15．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
16．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．
1．数列的概念
定义
按照一定次序排列的一列数称为数列
项
数列中的每个数都叫作这个数列的项
数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第n项
(1)数列中的数是按一定次序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1，1，－1,1，…；2,2,2，…．
2．数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式
一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
对于数列的通项公式的理解
(1)并不是所有的数列都能写出其通项公式，例如，圆周率数列1,1．4,1．41,1．414，…．
(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列1,0,1,0,1,0，…，它的通项公式可以是
an＝，也可以是an＝．
(3)数列的通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的某一项．
4．数列的递推公式
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给定数列的一种方法．
5．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系f
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
(1)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．
(2)与所有数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．如π精确到1,0．1,0．01，0．001，…的近似值构成的数列为3,3．1,3．14，3．142，…，无法写出其递推公式．有些数列即使有递推公式，也不一定唯一．如数列2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以是a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N*)，而a1＝2，a2＝4，an＋1＝2an－an－1(n≥2)也是它的递推公式．
6．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．
(1)“从第二项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
7．等差中项
如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝，我们把A＝叫作a和b的等差中项．
(1)A＝⇔a，A，b成等差数列，因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以类比数轴上的中点坐标公式进行记忆和应用．
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
8．等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
递推公式
通项公式
an＋1－an＝d
an＝a1＋(n－1)d
等差数列通项公式的注意点
(1)通项公式还可以推广为an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*，m
(4)根据通项公式知，已知数列的任意两项，可以确定等差数列的每一项．
9．等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝．
(2)对有穷等差数列{an}，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
10．数列前n项和的概念
一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn．
(1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2) 也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示．
(2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝
11．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
12．等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1
若{an}为等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等差数列，公差为k2d
性质2
若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)
性质3
数列{an}是公差为d的等差数列⇒数列是公差为的等差数列
性质4
设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝
13．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
14．对等比数列概念的理解
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列．
(4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列．
(5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列．
15．等比中项
若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，此时G2＝ab．
(1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，则an＋1是an与an＋2的等比中项．如在等比数列1,2,4,8，…中，2n是2n－1与2n＋1的等比中项(n∈N*)．
(2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的，前者可以推出后者，但后者不一定能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列．
16．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1．
17．等比数列的运算性质
对称性
对有穷等比数列，与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N*)；
特别地：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；
(2)若m，p，n(m，p，n∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列
子数列
(1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；
(2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk；
(3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列
合成数列
(1)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2；
(2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和
18．等比数列的前n项和公式
19．等比数列前n项和的性质
性质1
若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝A－Aqn(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列
性质2
若数列{an}为公比不为－1或公比为－1且n为奇数的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列
性质3
若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)
性质4
若数列{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则在等比数列中，
①若项数为2n(n∈N*)，则＝q；②若项数为2n＋1项，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)
题型一 数列的概念及分类
【例1】下列叙述正确的是( )
A．1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．0,1,0,1，…是常数列
C．数列0,1,2,3，…的通项公式为an＝n
D．数列{2n＋1}是递增数列
思维升华
1．有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列；否则为无穷数列．
2．数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列．
巩固训练
1．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…．则该数列的第10项为( )
A．34 B．55 C．68 D．89
2．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…，，…
B．sin π，sinπ，sinπ，…，sinπ，…
C．－1，－，－，－，…，－，…
D．1，，，…，，…
题型二 由数列的前几项求通项公式
【例2】根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；(2)－，，－，，…；
(3)0,1,0,1，…；(4)9,99,999,9 999，…．
思维升华
用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可参考以下思路：
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决，如三角函数等．
(5)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
巩固训练
1．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N*
C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…；
(3)1，－3,5，－7,9，…； (4)－，，－，，…；
(5)，2，，8，，…； (6)－3,33，－333,3 333，…．
题型三 通项公式的应用
【例3】已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*．
(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项；(3)求an＋1及a2n．
思维升华
(1)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
(2)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x．求数列的某一项，相当于已知x求y；判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
巩固训练
1．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72．
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．，0，，0 D．2,0,2,0
题型四 由数列的递推关系求项
【例4】(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 022．
(2)设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
思维升华
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1．
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝．
巩固训练
1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是( )
A．1 B． C． D．
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an．
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
题型五 由递推公式求通项公式
【例5】(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N*)，则an＝________．
(2)已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式是an＝________．
思维升华
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
巩固训练
1．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )
A．2n B． C．2n－1 D．2n－1
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式．
题型六 等差数列的通项公式及应用
【例6】在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an．
思维升华
等差数列通项公式的求法与应用技巧
等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程(组)求解的思想方法，称为方程思想．等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项a1与公差d即可．运用方程的思想，一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
巩固训练
1．2 022是等差数列4,6,8，…的( )
A．第1 008项 B．第1 009项
C．第1 010项 D．第1 012项
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
题型七 等差中项及其应用
【例7】(1)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3 C．6 D．9
(2)若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
思维升华
a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，这个条件可用来进行等差数列的判断或解有关等差中项的计算问题．如：若要证{an}为等差数列，则可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
巩固训练
1．(多选)若a，b，c成等差数列，则下列命题中正确的是( )
A．a2，b2，c2一定成等差数列
B．2a,2b,2c可能成等差数列
C．ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a1＝47，a6＝7，则a5等于________．
题型八 等差数列的性质及应用
【例8】在公差为d的等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d．
思维升华
1．等差数列基本运算的方法
对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法：
一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解；
二是利用等差数列的基本性质求解．
2．等差数列的常用性质
性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
性质2：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝2at(t∈N*)．
性质3：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
巩固训练
1．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，求a5+ a6．
题型九 Sn与an的关系
【例9】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n．
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
思维升华
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1．
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1．
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
巩固训练
1．设Sn为数列{an}的前n项和，log2(Sn＋1)＝n＋1．
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
题型十 等比中项及应用
【例10】在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
思维升华
已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1an＋1．运用等比中项解决问题，会大大减少运算量，且等比中项常起到桥梁作用．
巩固训练
1．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( )
A．9 B．－9 C．±9 D．18
2．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．±6 D．±12
题型十一 等比数列的通项公式及应用
【例11】在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(3)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n．
思维升华
等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
巩固训练
1．在等比数列{an}中．
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a4＝2，a7＝8，求an．
题型十二 等比数列的判定与证明
【例12】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．
思维升华
判断或证明数列为等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比数列．
(2)通项公式法： an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是等比数列．
巩固训练
1．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，判断数列{bn}是否为等比数列，并求其通项公式．
题型十三 等比数列性质的应用
【例13】已知{an}为等比数列．
(1)若a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
思维升华
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
巩固训练
1．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________．
题型十四 等比数列前n项和公式的基本运算
【例14】在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q．
思维升华
等比数列前n项和运算的注意点
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；
当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．
当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
巩固训练
1．等比数列{an}中，首项a1＝12，公比q＝，那么它的前4项和S4的值为( )
A． B． C． D．
2．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________．
题型十五 等比数列前n项和性质的应用
【例15】(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
思维升华
解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．
巩固训练
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32
C．21 D．28或－21
2．已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30．
3．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
第四章 数列（知识归纳+题型突破）
1．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是一种特殊的函数，了解数列的递推公式，并能简单应用．
3．能用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．
4．会求数列中的最大(小)项，能从函数的观点研究数列．
5．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
6．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题．
7．能根据等差数列的定义，推出等差数列的常用性质．能运用等差数列的性质简化计算．
8．探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．
9．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，在五个量(a1，d，n，an，Sn)中，会由其中三个求另外两个．
10．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题．
11．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
12．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题．
13．灵活应用等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系．
14．探索并掌握等比数列的前n项和公式及前n项和的性质．
15．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
16．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．
1．数列的概念
定义
按照一定次序排列的一列数称为数列
项
数列中的每个数都叫作这个数列的项
数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第n项
(1)数列中的数是按一定次序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1，1，－1,1，…；2,2,2，…．
2．数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式
一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
对于数列的通项公式的理解
(1)并不是所有的数列都能写出其通项公式，例如，圆周率数列1,1．4,1．41,1．414，…．
(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列1,0,1,0,1,0，…，它的通项公式可以是
an＝，也可以是an＝．
(3)数列的通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的某一项．
4．数列的递推公式
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给定数列的一种方法．
5．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系f
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
(1)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．
(2)与所有数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．如π精确到1,0．1,0．01，0．001，…的近似值构成的数列为3,3．1,3．14，3．142，…，无法写出其递推公式．有些数列即使有递推公式，也不一定唯一．如数列2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以是a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N*)，而a1＝2，a2＝4，an＋1＝2an－an－1(n≥2)也是它的递推公式．
6．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．
(1)“从第二项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
7．等差中项
如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝，我们把A＝叫作a和b的等差中项．
(1)A＝⇔a，A，b成等差数列，因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以类比数轴上的中点坐标公式进行记忆和应用．
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
8．等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
递推公式
通项公式
an＋1－an＝d
an＝a1＋(n－1)d
等差数列通项公式的注意点
(1)通项公式还可以推广为an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*，m
(4)根据通项公式知，已知数列的任意两项，可以确定等差数列的每一项．
9．等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝．
(2)对有穷等差数列{an}，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
10．数列前n项和的概念
一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn．
(1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2) 也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示．
(2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝
11．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
12．等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1
若{an}为等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等差数列，公差为k2d
性质2
若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)
性质3
数列{an}是公差为d的等差数列⇒数列是公差为的等差数列
性质4
设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝
13．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
14．对等比数列概念的理解
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列．
(4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列．
(5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列．
15．等比中项
若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，此时G2＝ab．
(1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，则an＋1是an与an＋2的等比中项．如在等比数列1,2,4,8，…中，2n是2n－1与2n＋1的等比中项(n∈N*)．
(2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的，前者可以推出后者，但后者不一定能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列．
16．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1．
17．等比数列的运算性质
对称性
对有穷等比数列，与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N*)；
特别地：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；
(2)若m，p，n(m，p，n∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列
子数列
(1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；
(2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk；
(3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列
合成数列
(1)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2；
(2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和
18．等比数列的前n项和公式
19．等比数列前n项和的性质
性质1
若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝A－Aqn(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列
性质2
若数列{an}为公比不为－1或公比为－1且n为奇数的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列
性质3
若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)
性质4
若数列{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则在等比数列中，
①若项数为2n(n∈N*)，则＝q；②若项数为2n＋1项，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)
题型一 数列的概念及分类
【例1】下列叙述正确的是( )
A．1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．0,1,0,1，…是常数列
C．数列0,1,2,3，…的通项公式为an＝n
D．数列{2n＋1}是递增数列
思维升华
1．有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列；否则为无穷数列．
2．数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an
巩固训练
1．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…．则该数列的第10项为( )
A．34 B．55 C．68 D．89
2．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…，，…
B．sin π，sinπ，sinπ，…，sinπ，…
C．－1，－，－，－，…，－，…
D．1，，，…，，…
题型二 由数列的前几项求通项公式
【例2】根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；(2)－，，－，，…；
(3)0,1,0,1，…；(4)9,99,999,9 999，…．
思维升华
用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可参考以下思路：
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决，如三角函数等．
(5)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
巩固训练
1．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N*
C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…；
(3)1，－3,5，－7,9，…； (4)－，，－，，…；
(5)，2，，8，，…； (6)－3,33，－333,3 333，…．
题型三 通项公式的应用
【例3】已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*．
(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项；(3)求an＋1及a2n．
思维升华
(1)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
(2)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x．求数列的某一项，相当于已知x求y；判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
巩固训练
1．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72．
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．，0，，0 D．2,0,2,0
题型四 由数列的递推关系求项
【例4】(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 022．
(2)设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
思维升华
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1．
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝．
巩固训练
1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是( )
A．1 B． C． D．
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an．
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
题型五 由递推公式求通项公式
【例5】(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N*)，则an＝________．
(2)已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式是an＝________．
思维升华
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
巩固训练
1．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )
A．2n B． C．2n－1 D．2n－1
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式．
题型六 等差数列的通项公式及应用
【例6】在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an．
思维升华
等差数列通项公式的求法与应用技巧
等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程(组)求解的思想方法，称为方程思想．等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项a1与公差d即可．运用方程的思想，一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
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1．2 022是等差数列4,6,8，…的( )
A．第1 008项 B．第1 009项
C．第1 010项 D．第1 012项
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
题型七 等差中项及其应用
【例7】(1)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3 C．6 D．9
(2)若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
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a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，这个条件可用来进行等差数列的判断或解有关等差中项的计算问题．如：若要证{an}为等差数列，则可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
巩固训练
1．(多选)若a，b，c成等差数列，则下列命题中正确的是( )
A．a2，b2，c2一定成等差数列
B．2a,2b,2c可能成等差数列
C．ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a1＝47，a6＝7，则a5等于________．
题型八 等差数列的性质及应用
【例8】在公差为d的等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d．
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1．等差数列基本运算的方法
对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法：
一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解；
二是利用等差数列的基本性质求解．
2．等差数列的常用性质
性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
性质2：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝2at(t∈N*)．
性质3：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
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1．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，求a5+ a6．
题型九 Sn与an的关系
【例9】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n．
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
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已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1．
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1．
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
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1．设Sn为数列{an}的前n项和，log2(Sn＋1)＝n＋1．
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
题型十 等比中项及应用
【例10】在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
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已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1an＋1．运用等比中项解决问题，会大大减少运算量，且等比中项常起到桥梁作用．
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1．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( )
A．9 B．－9 C．±9 D．18
2．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．±6 D．±12
题型十一 等比数列的通项公式及应用
【例11】在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(3)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n．
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等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
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1．在等比数列{an}中．
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a4＝2，a7＝8，求an．
题型十二 等比数列的判定与证明
【例12】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．
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判断或证明数列为等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比数列．
(2)通项公式法： an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是等比数列．
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1．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，判断数列{bn}是否为等比数列，并求其通项公式．
题型十三 等比数列性质的应用
【例13】已知{an}为等比数列．
(1)若a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
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有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
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1．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________．
题型十四 等比数列前n项和公式的基本运算
【例14】在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q．
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等比数列前n项和运算的注意点
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；
当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．
当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
巩固训练
1．等比数列{an}中，首项a1＝12，公比q＝，那么它的前4项和S4的值为( )
A． B． C． D．
2．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________．
题型十五 等比数列前n项和性质的应用
【例15】(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
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解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．
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1．等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32
C．21 D．28或－21
2．已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30．
3．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
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