特训08 期末解答压轴题（江苏精选归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习高分突破（苏教版必修第二册）

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1．（2022春·江苏扬州·高一期末）如图，在斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面的距离为，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值.
2．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）在四棱锥中，平面 ⊥平面 ，底面为梯形，，，且，，．
(1)求证：；
(2)求二面角______的余弦值；
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
(3)若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与 都不平行．
3．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝．
(1)求AQ的长；
(2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．
4．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知函数．
(1)求方程在上的解集；
(2)求证：函数有且只有一个零点，且
5．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．
6．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．
(1)当时，求二面角的大小；
(2)当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：
①设平面与平面的交线为，求证：平面；
②在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
7．（2022春·江苏常州·高一统考期末）如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F.
(1)求证：平面；
(2)求点E到平面的距离.
8．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
9．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点.
(1)求的值；
(2)若.
①求证：平分；
②求面积的最大值及此时的长.
10．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
（1）为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表：
（2）在（1）的前提下，若，两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.
11．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，为的角平分线，已知，，，点E，F分别为边，上的动点，线段交于点G，且的面积是面积的一半．
(1)求边的长度；
(2)当时，求的面积．
12．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）若定义域为的函数满足，则称为“a型”弱对称函数.
(1)若函数为“1型”弱对称函数，求m的值；
(2)已知函数为“2型”弱对称函数，且函数恰有101个零点，若>λ对任意满足条件函数的恒成立，求λ的最大值.
13．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）如图，在正方体中：
（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）
(1)证明：平面；
(2)若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值．
14．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点.
(1)当为线段中点时，求点到平面的距离；
(2)当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.
15．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，．
(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(3)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
17．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
18．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O．
(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)二面角B－PC－D的平面角为θ，若．
①求PA与底面ABCD所成角的大小；
②求点N到平面CDP的距离．
19．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，.
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，直线与平面所成角的大小为.
①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；
②求的最大值.
20．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）由倍角公式cs2x＝2cs2x－1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式，对于cs3x，我们有cs3x＝cs(2x＋x)
＝cs2xcsx－sin2xsinx
＝(2cs2x－1)csx－2(sinxcsx)sinx
＝2cs3x－csx－2(1－cs2x)csx
＝4cs3x－3csx
可见cs3x可以表示为csx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P(t)，使得csnx＝P(csx)，这些多项式P(t)称为切比雪夫多项式．
(1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
(2)请求出P4(t)，即用一个csx的四次多项式来表示cs4x；
(3)利用结论cs3x＝4cs3x－3csx，求出sin18°的值．
21．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底而所成的角为，底面ABCD为直角梯形，
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD：
(2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由.
22．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
23．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点.如图，，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连结，，，.
(1)当平面时，求的长；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
24．（2022春·江苏南通·高一如皋市第一中学期末）如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，M是上一点，平面．
(1)求的值；
(2)若与平面所成角的正切值为，求证：平面平面．
25．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知在正三棱柱中，，E是棱的中点．
(1)设，求三棱锥的体积；
(2)若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．
26．（2022春·江苏南通·高一统考期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示
(2)求的值
(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
27．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.
(1)若二面角为，求的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.
28．（2021春·江苏南京·高一校考期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设.
（1）若，求的长；
（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由.
组别
人数
50
100
150
150
50
组别
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6