第2章 一元二次函数、方程和不等式（知识清单）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略（人教A 版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式知识清单

一、 一元一次不等式的解法

一元一次不等式ax>b的解的情况：

（1）当a>0时，；

（2）当a<0时，；

（3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。

二、 分式方程、分式不等式的解法

1、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．

(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．

2、分式不等式的解法：

 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．

3、可化为一元二次方程的分式方程

1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程

简单分式不等式的解法

三、 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 

表中，

2、恒成立

恒成立

四、绝对值不等式

1、a>0时，

①；②或x>a

2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．

对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得

或；．

五、 基本不等式

1、基本不等式(或)均值不等式

2、基本不等式的变形与拓展

(1)若,则；

(2)若,则（当且仅当时取“=”）．

(3)若,则；

(4)若,则（当且仅当时取“=”）；

(5)若,则（当且仅当时取“=”）．

(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

(8)一个重要的不等式链：．

六、一元二次不等式的概念及形式

(1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

(2).形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；      ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；      ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

七、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系

(1).一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

(2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；

若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．

(3).三个“二次”之间的关系：

八、分式不等式的解法

①>0与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？

②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？

定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.

解法：等价转化法解分式不等式

>0⇔f(x)g(x)>0，<0⇔f(x)·g(x)<0.

≥0⇔

⇔f(x)·g(x)>0或.

≤0⇔⇔f(x)·g(x)<0或

九、简单的高次不等式的解法

(1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x>2,1<x<2，x<1不同情形下，y值的符号变化情况．

(2)考查函数y＝(x－1)2(x＋3)，当x<－3，－3<x<1，x>1时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？

高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.

解法：穿根法

①将f(x)最高次项系数化为正数；

②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；

④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．